FONDAMENTALES

§ 1. DES DIFFÉKENTIELLES.

4Ï. On a trouvé avantageux de représenter cette limite du rapport de deux infiniment petits, que nous avons appelée la dérivée d'une fonction, par un véritable rapport : on a nommé différentielles de deux variables y et Xy dont la première est fonction de la seconde, deux quantités dont le rapport est rigoureusement égal à la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de y et de x.

On voit par là que ces différentielles, considérées en elles-mêmes, sont des quantités totalement indéterminées : il n'y a de déterminé que leur rapport, qui est une fonction bien définie de la variable a?, puisqu'il ne diffère pas de la dérivée de y par rapport à x. Celte indétermination des différentielles présente des avantages précieux.

Les accroissements finis ou infiniment petits des variables se désignent comme nous l'avons déjà fait, par la caractéristique A, placée devant ces variables. Ainsi

Ax, At/, Ajz,...

signifient les accroissements ou les différences de x, y, z... Les différentielles sont indiquées par la caractéristique d. Ainsi

dar, rfy, az,...

représentent les différentielles des variables x, y, z...

On marque la dérivée d'une fonction d'une seule variable par un accent dont on affecte le signe représentatif de la fonction. Ainsi î'{x) signifie la dérivée de la fonction f (x) par rapport à x. Nous emploierons aussi la notation très-commode de Cauchy, qui place devant la fonction la lettre D, affectée d'un indice marquant la variable à laquelle se rapporte la dérivation ; de sorte que

représente la dérivée, par rapport à x, d'une fonction y de cette variable.

A Taidc de ces notations, nous pouvons écrire, comme conséquence de nos définitions,

et aussi

dy = D,y • dx ,

en sorte que, si la dérivée d'une fonction est connue, il suffit toujours de la multiplier par la différentielle de la variable pour avoir la différentielle de la fonction.

413. 11 suit encore, de la première de ces équations, que si Ton désigne par (ù une quantité qui tend vers zéro en même temps que Ax, on aura

—^ = D,y -H 6) , d'où Ay = D,y • Ax -♦- «Ax.

Or, «Aaf étant infiniment petit par rapport à Ax, Ay et D,y • Ax ne diffèrent l'un de l'autre que d'une quantité infiniment petite par rapport à Ax, et conséqiiemment par rapport à Ay, si D,y n'est pas nul. D'ailleurs, dx étant indéterminé, rien ne nous empêche de choisir dx égal à

Ax, et il viendra, en négligeant une quantité infiniment petite par rap-

port à Ax ou Ay,

Ay = D,y • Ax =.D,y • dx = dy.

C'est-à-dire que, lorsqu'on prend la différentielle de la variable égale à son accroissement infiniment petit, on peut aussi i-emplacer l'accroissement infiniment petit de la fonction par sa différentielle, dans tous les cas oii il est permis de négliger une quantité infiniment petite par rapport à cet accroissement lui-même.

Cette remarque est très-utile dans les questions où Ay est un terme d'un rapport ou d'une somme d'infiniment petits.

44. Théorème fondamental. Soient y, z deux fonctions d'une même variable x; Ar, Ay, Az les accroissements infiniment petits correspondants des variables X, y, z; dx, dy, dz, leurs différeutielles, c'est-à-dire, d'après la définition (42), des quantités indéterminées assujéties seulement à satisfaire aux équations

dy ,. Ay dz ,, Az , dx Ax dx Ax

il y a donc une des trois quantités dx, dy, dz qui reste absolument arbitraire.

La sërie d'égalités évidentes

.. ^ i. \Ax/ D^z \dxy dz

/Ay\ D.y fdy\ \AxJ \dxj

nous fait voir i° que ta limite du rapport des accroissements infiniment petits de z et de y, ou la dérivée de z considéré comme fonction de y, est égale au quotient des dérivées de z et de y par rapport à une même variable x dont y et z dépendent; ^^ que cette même dérivée est encore égale au rapport des différentielles de z et de y, prises en regardant y et z comme fonctions de la variable x.

Cette dernière remarque est fort importante; on en tire d'abord les eonséquences suivantes :

I. Soient x, y, z, i/,... des variables dont chaeune est fonction immédiate de la précédente, en sorte que Ton a

II est clair que Ton peut les considérer toutes comme fonctions de la première, x, et, dans cette bypotbèse, désigner par dx, dy, dzy du,,.. leurs diflFérentielles. On a identiquement

du du dz dy dx dz dy dx

Or, d'après le théorème précédent, le rapport des différentielles de deux variables quelconques sera toujours égal à la dérivée de la première par rapport à la seconde; cette équation peut donc s'écrire

D,w == D-w • DyZ • D,y.

Ainsi la dérivée de u par rapport à x s'obtiendra en faisant le produit des dérivées de u par rapport à z, de z par rapport à y, et de y par rapport à x.

Cette règle, qui aurait lieu quel que soit le nombre des fonctions accumulées, s'appelle la règle des fonctions de fonctions.

II. Quand une variable y est fonction d'une autre variable x, réciproquement, celle-ci est fonction de la première : on peut donc se proposer

de trouver sa dërivëe par rapport à y. Il suffît, pour résoudre cette question, de supposer dans le théorème fondamental que la fonction z se réduise à la variable x, ce qui donne

Az = Axy D:rJ3=l, dz = dx, et Ton a

,. Ax i dx

D X = lim -r- = — — = -r- 9

ày Dry dy

c'est-à-dire que la dérivée de x par rapport à y est la réciproque de la dérivée de y par rapport à x. C'est ce qu'on nomme la règle des fonctions inverses.

45. Généralisation de l'idée des différentielles. Le théorème fondamental nous permet d'étendre, à tous les cas qui peuvent se présenter, la définition des difTérentiellcs.

Soient x, y, z,.,, u, v, w, des variables en nombre quelconque, entre lesquelles existent certaines relations. On appelle différentielles de ces variables, et l'on désigne par les notations

dx, dy, dz,.»,y du, dv, dw,

des quantités telles que le rapport de deux quelconques d'entr'elles est égal à la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants des mêmes variables, en sorte que

du ,. Am dy ,. Av

--. = (tm-r— , -7^ = et»Wx j etc....

dx Ax dw lAW

Mais, pour justifier cette définition, quelques observations sont nécessaires, et deux cas très-distincts doivent être examinés. En premier lieu, il peut se faire que, d'après la nature de la question, les variables x, y,... V, IV, soient liées entr'elles de telle manière que la valeur de l'une d'elles, par exemple de x, détermine celles de toutes les autres, qui en seront conséquemment des fonctions : x étant la variable indépendante. Dans ce cas, d'après la définition primitive déjà connue (42\ les différentielles dy, dzy.,, dw des fonctions y, z,... w sont des quantités dont les rapports à dx sont respectivement égaux aux dérivées D,i/, D,z,... D^w de ces fonctions par rapport à x, dx restant arbitraire. En sorte que la définition générale des différentielles, que nous venons de donner, ne fait autre chose que rappeler la propriété de ces différentielles qui fait l'objet du théorème fondamental, savoir, que le rapport de deux quelconques

d'entr'elles est encore égal à la limite du rapport des accroissements correspondants des mêmes variables.

En second lieu^ et c'est le cas le plus général, les relations qui existent entrelcs variables x, i/,... w peuvent être telles, que plusieurs d'entre ces variables restent arbitraires et indépendantes ; par exemple, x^ y, z : les autres étant des fonctions de celles-là. Et comme les accroissements simultanés et infiniment petits de deux variables qui ne dépendent pas l'une de l'autre, sont dans un rapport arbitraire qui ne converge vers aucune limite déterminée, la définition générale ci-dessus paraît n'avoir aucun sens.

Mais, sans rien changer au fond des choses, on peut les présenter sous un point de vue qui nous ramène au premier cas. Il est visible, en effet, qu'au lieu de considérer les variables indépendantes x, y, z comme recevant des valeurs arbitraires , il revient au même de les regarder comme des fonctions d'une certaine variable nouvelle f, pourvu que nous ne précisions nullement la nature de ces fonctions, que nous les regardions comme pouvant recevoir toutes les formes possibles; comme étant, en un mot, des fonctions arbitraires. Par cette hypothèse, les variables x, y, jz... w, v, w deviendront toutes des fonctions d'une même variable indépendante t\ seulement, parmi ces fonctions, il y en aura un certain nombre à qui l'on pourra attribuer telle forme qu'on voudra. Dès lors, nous sommes ramenés au premier cas, celui où toutes les variables dépendent d'une variable unique; nous pouvons donc appliquer la définition primitive des différentielles, et nous devons remarquer d*» Qu'il y a toujours au moins une différentielle qui reste indéterminée ; 2» Que le rapport des différentielles de deux variables quelconques est toujours égal (44) à la limite du rapport des accroissements infiniment petits correspondants de ces variables, ce qui achève de justifier l'extension que nous avons donnée à l'idée des différentielles et la définition générale adoptée ci-dessus;

3** Que les différentielles des variables x, y, z, ou leurs dérivées par rapport à t, restent arbitraires aussi longtemps qu'on ne particularise point les relations indéterminées que l'on a supposées entre x, y, z et t. Il va sans dire que l'auxiliaire f, introduite uniquement pour l'unité des principes, ne figurera même pas dans les formules, et qu'on pourra toujours choisir, pour jouer ce rôle, l'une des variables de la question, X par exemple.

Pour éclaîrcir ces notions par un exemple, supposons que

soit réquation d'une surface : x et iy sont ici deux variables indépendantes dont z est une fonction déterminée. Mais on peut tout aussi bien considérer x comme la variable indépendante, et y comme une fonction, mais une fonction arbitraire, de x : cela revient évidemment à admettre que la projection du point (x, t/, z) sur le plan horizontal, au lieu de se déplacer sans aucune loi, se déplace le long d'une ligne de forme arbitraire, ce qui est bien la même chose. Et il y aura cet avantage, que les relations établies entre les différentielles dx, dy^ dz sous ce point de vue général, s'appliqueront d'elles-mêmes aux courbes tracées sur la surface donnée.

46. Désignons par u une fonction de plusieurs variables Xy y, z^,,, dépendantes ou indépendantes. On peut toujours concevoir que l'on fasse varier une seule des quantités x, y y z,..., les autres demeurant constantes : u sera ainsi considéré successivement comme fonction de x seul, de y seul, etc. L'accroissement de la fonction t/, dû à un accroissement donné ainsi à une seule des variables x, y^... dont elle dépend, se nomme sa différence partielle par rapport à x, à ^, etc., et se désigne par A,t«, AyU, etc. On a donc, en posant u =3 f (x, t/, z),

A,M=f (x-^Ax, y, iç) — f (x, y, z), Ayt/=f (x, y-^Ay, z) — f(x, y, z),

etc...

De même, les dérivées et les différentielles de w, considéré ainsi successivement comme fonction de x seul, ou de y seul,..., se nomment ses dérivées partielles et ses différentielles partielles^ et on les désigne, les premières par

BsUy DyUy DgU^...;

les dernières par

dxUy djfUy dsti,...

En vertu de ces définitions, on a les relations

,. àsU dsU

Ax dx

Ay dy

et ainsi de suite.

Il importe de distinguer ces différences et ces différentielles partielles de la fonction u, de raccroîssement et de la différentielle de cette fonction, rapportes à l'hypothèse où toutes les variahles x, y, ^,.« sont censées dépendre d'une même variable auxiliaire, et varier toutes simultanément, comme nous l'avons expliqué ci-dessus (45). C'est pourquoi Paccroissement et la différentielle de u, pris sous ce dernier point de vue, se nomment sa différence et sa différentielle totales^ et se désignent simplement par Auj du.

47. L'opération qui a pour but la détermination des dérivées ou des différentielles des fonctions, se nomme différentiation ; l'ensemble des méthodes créées pour cet objet constitue le calcul différentiel.

La recherche des différentielles dans tous les cas est extrêmement simplifiée par l'usage d'un théorème remarquable, qui donne l'expression de la différentielle totale d'une fonction au moyen de ses différentielles partielles, et qui ramène ainsi tout le problème au calcul des différentielles des fonctions simples. Nous allons exposer d'abord ce théorème.

§ 2. EXPRESSION DE LA DIFFÉRENTIELLE TOTALE d'uNE FONCTION DE