PLUSIEURS VARIABLES
48. Soient F{u, v) une fonction de deux variables ti, i;, indépendantes ou fonctions elles-mêmes d'autres variables; Fi(w, v) = D«F, Fa(w, r) = D»F ses dérivées partielles par rapport k u ci v. D'après la théorie exposée plus haut, pour calculer la différentielle totale de F(ii, v), nous devons toujours regarder u eiv comme dépendant d'une certaine variable auxiliaire f, dont l'accroissement infiniment petit engendre les accroissements infiniment petits At/, Av de ces variables, et l'accroissement AF de la fonction proposée. Or, ce dernier,
AF = F(w -♦- Aw, V -♦- Ar) — F (w, v) peut s'écrire
AF = [F(w H- Al/, v) — F(î/, v)] -h [F(tt-t- At/, v-^Av) — F(m -+- Aw, v)],
ou encore, suivant les notations adoptées ci-dessus,
AF = A«F (m, t;) -4- A,F (u -4- Aw, v).
Mais on a, d'après la propriété démontrée (45),
A«F (w, i?) = [Fi (î/, v) -^ w] Au,
(ù étant infiniment petit avec Au; et de même
ApF (u -t- Au, v) == [Fa (m -h Aw, v) ■+• wi] Av,
wi tendant vers zéro avec Av. D'autre part, la dérivée Fa (w, v) étant supposée fonction continue de u et de v, Fa {u + Au, v) ne peut différer de Fa (u, v) que d'une quantité coa qui tend vers zéro avec Au. On a donc, en substituant,
AF = [Fi (u, v) •+- w] Au -♦- [Fa (u, v) -♦- Wa + «i] Av;
d'où, divisant toute l'équation par Af, faisant converger At vers zéro et par conséquent Au, Av, puis remplaçant chaque terme par sa limite,
dT du dv
^=F.(u,v).-j^+Fa(u,v)^^.
Multipliant par dt et remplaçant Fi et Fa par D^F, D„F, il vient enfin
dF = DuF . du H- D„F . dv,
ce qui est l'expression de la différentielle totale de F (u, v) en fonction de ses dérivées partielles par rapport à u et v.
Le même raisonnement s'étend sans difficulté à une fonction de trois, quatre variables, et pour une fonction F (u, r, u?,...) d'un nombre quelconque de variables, indépendantes ou non, l'on aura
(i) dF = DuF • du -4- DeF • dv -+- DJP - dw-i — ,
ou plus simplement, en employant la notation des différentielles partielles,
(2) rfF = duF H- d^F H- d^F -^ ••
La différentielle totale d'une fonction de plusieurs variables est donc toujours égale à la somme de ses différentielles partielles, par rapport à chacune des variables prise séparément.
Nous allons développer les conséquences nombreuses de ce théorème.
49. On sait que l'accroissement infiniment petit d'une fonction et sa différentielle ne diffèrent que d'une quantité qui est infiniment petite par rapport à l'accroissement de la variable indépendante. On peut donc tirer de l'équation (2) celle-ci :
AF = A«F -t- A„F -4- A.c;F-+-.. -f-£,
e étant infîniment petit par rapporta Au, Av^ Au?^..., car il est infiniment petit par rapport à Af, et comme u, v, w^.,. sont toujours considérés comme fonctions de la variable auxiliaire t, leurs accroissements Ati, Av,.** sont implicitement regardés comme étant du même ordre que Af, du moins en général (40).
50. Différentielles (Vime somme, d'un produit y etc., de pltisieurs variables. — Remarquons d'abord que, si a est une constante, on a
A (m -♦- o) = At/, lim—^^ •' = -^-T ^ = 1.
^ ' An du
d'où
d{u -f- o) = duj
c'est-à-dire qu'on peut ajouter une constante quelconque à une fonction sans modifier sa différentielle.
Ensuite, comme on a
A (au) = a^u, lim — ^ — - = — V— = a , ^ Au du '
d {au) = aduy
on conclut que la différentielle du produit d'une fonction par une constante est le produit de la constante par la différentielle de la fonction. Soit a = ±1,
d (=fc u) = =fc du.
Gela posé, attribuons, dans Téquation (2) du n"" 48, diverses formes à la fonction V{u,v, w,...), et soit d'abord
F(w, r, te;,...) = wdt V =fct(;=fc»«»
La différentielle de F, prise en faisant varier u seulement, est égale, d'après la première remarque, à ctn; de même, d,F se réduit à rf (zb v) = db dv, etc., et l'équation (2) devient
dF = d{uà=.v±w zt'.-)=:dtt=fcdv=h du? ±--
La différentielle de la somme algébrique de plusieurs variables est la somme algébrique des différentielles de ces variables. Soit, en second lieu,
F(u, r, u?,...) = tit;tt-...
D'après la seconde remarque ci-dessus, Ton a
duF = vw... du, dvF= uw.., rfr, etc., et le théorème général donne
dF = d.uvw-" = VW'*' du -h uW"* dv -h uv»" dw -♦-•••(0,
ou encore
, /du dv dw \
Cette règle sert à différéntier le produit d'un nombre quelconque de variables. Pour deux variables u et v, Ton a
dMV = vdu -+• udv.
Pour m variables égales à u. Ton a
rf.u*^ zzzzu"^ ' m — = mw^^^du,
Soit enfin
On ti^e de là
et par suite
d'où enfin
u = vF , du= Fdv -♦- vdF,
i i / u \ dF= -{du — Fdv) = -ldu dvY
-„ , u vdu — udv dF = a. - = —
Telle est la formule que l'on emploie pour trouver la dififérentiellc d'un quotient de deux fonctions. Il peut arriver que l'une d'elles se réduise à une constante a, auquel cas sa différentielle est nulle ; on a ainsi
du
(i) On indique par un point, placé après le signe d, que ce signe se rapporte à tout le monôme qui le suit.
51 . Il importe de remarquer que la formule (2), et celles que nous en avons déduites, s'appliquent également à des variables u, v, ti?,.** qui sont indépendantes les unes des autres, ou fonctions d'une même variable, ou même de plusieurs autres variables : et cela, à cause de la généralité du point de vue sous lequel nous avons envisagé les dififérentielles.
Si, en particulier, u, v, w,,.. sont des fonctions d'une seule variable x (auquel cas celle-ci remplace notre auxiliaire t), il sufiira.de diviser par dx l'équation (i) et celles qui s'en déduisent, pour que les dérivées remplacent partout les différentielles; ce qui donnera les formules
dFKr,«;,...)^Pp rfu^pp rfv^P^^^ dx dx dx dx
d{u±:vàz M?...) du dv dw
dx dx dx dx
d{uvw.,.)
dx
f\ du \ dv i dw \
= UVW».. I - -T- H ; H - -; h ••• I:
\u dx V dx w dx J
\i?/ f du dvi\ \
dx \ dx dx) V*
etc.
La fonction F (w, v, ti;,...) étant ce qu'on appelle une fonctijon composée de X, la première de ces équations constitue la règle des fonctions composées.
Corollaire, Considérons deux fonctions de ar, F{x) et f(x), dont les dérivées sont égales, en sorte que l'on ait, pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle donné,
D'après la règle pour différentier une somme, nous aurons
et la fonction F (x) — f (^)j ayant sa dérivée nulle, ne peut être qu'une constante (41, UJ. Donc, deux fonctions d'une tnême variable x, qui ont des dérivées égales pour toute valeur de x comprise dans un intervalle déterminé y ne peuvent différer Vune de Vautre^ dans cet intervalle^ que par une constante.
Cette remarque est importante.
