DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS SIMPLES

59. Le théorème général sur la différentielle totale ramenant la différentintion de toute fonction explicite a celle des fonctions simples d'une variable a?, c'est de celles-ci que nous allons nous occuper.

On a d'abord, d'après ce qui précède,

d (a db x) = db rfx.

En second lieu, soit

l'exposant a étant une constante réelle quelconque, positive ou négative, rationnelle ou irrationnelle. Où aura , en donnant à x raccroissement infiniment petit Ajt,

Ay (x -H Ax)" — x« \ X /

Ax Ax Ax '

Ax ^Représentons par a l'infiniment petit — ; il vient

Ax a a

en posant

(i 4-a)»— l=(3, d'où

+ «)- = i+p, al.(l+«) = l.(l+p), j:J^ = «.

Comme ^ est infiniment petit en même temps que a, on a, d'après une propriété démontrée (26),

et par suite (28)

.. p .. l.(i + P) lim - = Ixm —7; — 4 = ^• « 1. (i -♦- a)

On aura donc la limite du rapport -r^ en remplaçant, dans Texpres-

sion de ce rapport, - par sa limite a, et par conséquent on trouvera

pour la dérivée de la fonction ^ ou a:". De là

On rencontre fréquemment les cas a =: 2, a = -, où Ton a

rf.x* = 2xdx* d. l/x = c. y- ' ' ^ 2yx

Remarque. Lorsque a est une fraction irréductible à dénominateur pair, la fonction a;" implique un double signe qui, comme on le voit sans peine, affectera sans renversement le facteur x**-* dans la dérivée.