III. La formule

dA' = A'l.Adx,

dans laquelle 1. Adx est un facteur constant, donne immédiatement

Gomme cas particulier, on a

IV. Pour obtenir la loi générale des dérivées successives de sinx, cosx, observons que

d.sinx=cosxdx=:sin [ X + ô)^^»

TT

Il suffit donc d'ajouter - à l'arc et de multiplier par dx. La répétition de cette observation conduit facilement à la formule

On aura de même

d" sin X = sin [ X -+- n- J dx*.

• d* cos X = cos I X -H n- ) dx".

V. On a souvent à former la dérivée w"»' du produit uv de deux fonctions d'une même variable x. Partant de l'équation.

d.un=udv -+- vdu

et répétant la même opération, on trouve

d*. uv = udH -H 2dudv -i- vd'w ; d'. uv = ud^v -H Mud*v -+- 5 d*udv -f- vd'w ;

et l'analogie de ces formules avec les puissances successives d'un binôme conduit à la loi générale suivante, qui se démontre comme celle du binôme par le passage de n à n + 1 :

d*. uv = Md"t; -f- ndud''-'*v h — —, — jr-^ d^ud'^-H -4 Hvd^M.

On peut l'écrire symboliquement

d". uv = {du -+- dt?)*, pourvu qu'après le développement du second membre suivant la for-

mule de Newton on change les exposants de dii^ dv, en indices de différentiation, et que Ton rétablisse, dans les termes extrêmes, les facteurs (duf = tt et {dvy — V.

Exercices.

Trouver la différentielle n*^"« des fonctions suivantes :

i. y = (o + 6a;)"»; R. d*y = m (m— l).-.(m — n + 1) &•• (a-*-6aj)"*-*»d»".

t. y = e« C08 9 cos (a? sin 0), étant constant.

R. d*y = c«co« ô cos (05 sin -H n0) cte».

t. y =: a» cos 6x ; Se ramène au cas précédent en faisant

a = p cos 0; 6 =. p sin ; d»y = |9»e*" cos (bx + fi0) dx*.

R. d"y=l .2...fi(l— a:)")l

"^ot-Jto,»' "• '^y =

». Trouver la dérivée n"^ de la fonction

Partant de Téquation

y = arctg X,

dx l-t-05*

et posant 05 := cot ^, on trouve d*abord

puis successivement

— = -sin«ç).sin25», ^= 1-2. sin '^j- sin 3?,.-.

^— = ( — 1)" ' l'2'" (n — l)sin»^' siun^ = ( — 1)»~* 'sin(narccota;).