FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
65. Soit w = F(x,y) une fonction de deux variables. Considérons d*abord y comme constant, et x comme seule variable; la différence partielle de u sera A,w. Cette différence étant elle-même une fonction de X, y en général, on peut y fait varier y seul, x étant constant, et prendre sa différence par rapport à y, ou A^A^t^; et ces opérations peuvent être répétées un nombre quelconque de fois, en supposant d'ailleurs que les accroissements Ax, Ay des variables soient indépendants de x et de y.
Si l'on avait opéré dans Tordre inverse, on aurait obtenu A^AyU.
Mais on a
u -♦- A,M = F (ac -H Ax, y) ,
d'où, changeant y en y ■¥ At^,
u -♦- AyM -4- A,w -♦- AyA,u = F (a; -♦- Ax, y -♦- Ay) ; et en opérant dans l'ordre inverse
u •+• AsU -♦- AyW -f- às^yU = F (x -I- Ax, y -*- Ay).
La comparaison de ces deux équations donne
(1 ) AyAsU = AsAyU ;
c'est-à-dire que l'on peut intervertir l'ordre des deux opérations successives marquées par A;., Ay, sur une même fonction, sans que le résultat soit changé.
•••De même, la dérivée partielle de u par rapport à x, ouD^ti, est une nouvelle fonction de (x, y), dont on peut prendre la dérivée partielle par rapport à y, x étant constant ; on la désigne par DyD,ti. On peut dériver celle-ci à son tour par rapport à x ou à y, et ainsi de suite.
On aura d'ailleurs
D^« = D,[F(x, y-^ At/)- F(x,y)] = D,F(jr, y + Ay) - D,F (x, y),
ou
(2) DAyU = AyD.w,
en sorte qu'il est permis de permuter Tordre des caractéristiques D^r, Ay. Enfin, si Ton prend la difTérentielIe partielle de u par rapport à x, rf,w, et qu'on différentie cette expression (qui est fonction de x, y) particlleraeni par rapport à y, on aura dydsu; et ainsi de suite; et dans ces différenliations partielles successives. Ton prendra rfx, rfy constants, pour simplifier.
67. Gomme, dans toutes ces opérations successives, on ne fait jamais varier à la fois qu'une seule des quantités x, y, on peut toujours appliquer les relations établies entre les différences, différentielles et dérivées des fonctions d'une seule variable. Ainsi Ton a immédiatement
D,u=— , DD,t/ = ^î^i5^ = ^/^— ^=^^, ' dx ^ ' dy dyKdxJ dydx
puisque dx n'est pas fonction de y ; etc.
De même
Ax ^"x ' Aî/Ax AxAy Ay ^'^a? ' ^
d'où, évidemment,
-f-— = M DyD,M, etc...
Si Ton suppose maintenant que Ax, ày soient infiniment petits^ on eonelut de ees relations
-— = D^w = — - ; hm '^-—- = DyD,M = -j-j- Ax ax A^Ax aycfx
Enfin, si Ton divise par AxAy les deux membres de Téquation (i) et que Ton passe aux limites, on a
lim -^ — = lim — ^> At/Ax AxAt^
ou bien
(5) DyD^W = D^DyM,
ou encore, en multipliant par dxdy les deux membres, (4) dydgU = dsdyU.
On peut donc, sans changer le résultat, intervertir l'ordre soit des caractéristiques D,, D^; soit des caractéristiques ds, dy.
De là résulte une conséquence importante. Concevons que l'on ait effectué sur la fonction u un nombre quelconque de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x, les autres par rapport à y, et dans un ordre quelconque : on pourra toujours, sans changer le résultat, intervertir Tordre de deux opérations consécutives, et par conséquent ranger ces opérations dans tel ordre que Ton voudra. On pourra, par exemple, faire en sorte que toutes les dérivations relatives à une même variable soient faites consécutivement, et indiquées par une seule caractéristique affectée d'un indice convenable, ce qui simplifiera l'écriture. Ainsi Ton aura
DsDyDJDsDyU = D,D^DyD,DyM = D,D,D;,DyDyM = D',D%»i.
Et la même remarque s'appliquera aux différentielles partielles succès-
sives; ainsi
dydxdydydgU = d^sd^yU = d^yd'^gU»
En général, l'ordre dans lequel on effectue les differentiations partielles successives sur une même fonction est indifférent, et pourvu que le nombre des opérations qui se rapportent à une même variable ne change pas, le résultat se^^a le même. En sorte que Texpression
D*,D'yW ou d^sd^yU
indiquera le résultat de cinq dérivations ou differentiations partielles successives, deux par rapport à x et trois par rapport à y, se succédant dans un ordre quelconque.
D'ailleurs, comme on a toujours
et que les exposants de rfx et rfy au dénominateur indiquent assez combien de differentiations partielles portent sur x et combien sur y, pour que l'on puisse au numérateur supprimer les indices et écrire d^u au lieu de d^yW, on est convenu de représenter aussi la dérivée partielle D',D'yW par
dx^dy^
Nous suivrons cette notation généralement adoptée; ainsi nous écrirons
du du d'^u
T-î -T-5 , , ? au lieu de D,w, Dyt/, D^D^w; par suite, comme nous
avons les relations
dsU = D^fU'dxj dyU = ByU dy^ d^sd^yU = D*,D%w«dx'dy',
nous pourrons aussi écrire ces différentielles partielles de la manière suivante :
du du d^u
On devra bien se garder, lorsqu'on emploiera ces notations, de supprimer, comme facteurs aux deux termes de la fraction, dx^ ou dy^ ou dx^dy^y dont la présence est nécessaire pour restituer aux numérateurs rfw, d^Uy leur véritable signification de différentielles partielles, et pour éviter toute confusion avec les différentielles totales de u dont nous parlerons plus loin.
Remarque. Les définitions, notations et propriétés précédentes s'étendent si facilement à des fonctions de trois ou d*un plus grand nombre de variables, qu'il est superflu d'entrer dans des détails à cet égard. Et quant au calcul des dérivées partielles des fonctions explicites, il ne peut offrir aucune difficulté, et se ramène aux règles relatives aux fonctions d'une seule variable. Nous nous bornons à citer quelques exemples.
Exercices.
/x« — y«. du 2xy*
V «'-*-y« dx |/(a.*yf^(a.«+y«)5
du 2x*y ^^ d*u 4fxy{x* —x*y* -{-y*) .
dy J/(a;S-.yS)(a.«+yS)5 dxdy j/(a.«yf)5(a;«^y«)5
t. ti=a5«y*: - — — = a(a— l)—(a — m-hl)6 (6--i)—(6 — n + l)aî«^y*-«. ' doc^dy**
S. *ti = sin (a» -H py -4- y) ; ^jjsij^ = »'"«'" sin ( a» 4- /3y -*- y -t-
. / ^ m-*- n \ 5in I a» 4- /3y -*- y H 5 — tt 1-
COS
l. tt=l. : prouver que Ton a
COS y ' "^
^^ri-4-/^?fVig=o.
Wajy Jdy* rfoj rfy rfaîdy I v^/ J
a;«V du 205!/ d'tt 2a? d*u ^oyy^r
dxdydz (a* — 3?*)* u = arc tg - • — En posant r =. |/a5*-Hy*, on a
du sin u dr a;
a;=rrcosu, y=:rsinM, — = > t=~
dac r dx r
et Pon trouve facilement.
