PLUSIEURS VARIABLES

68. Nous devons considérer maintenant les différentielles totales successives d'une fonction de plusieurs variables. Soit

ti=F(a:, y)

une fonction de deux variables a;, y, qui sont, ou indépendantes, ou fonctions elles-mêmes d'une ou de plusieurs variables. Nous avons défini (45, 46) ce que Ton entend par sa différentielle totale duy et montré qu'elle s'exprime au moyen des différentielles de x et de t^ par l'équation

(i) rfti == ï^sU'dx -+- DyW'dy.

Si l'on considère du comme une nouvelle variable, dont on prend la différentielle totale d.du ou d^u^ on aura la différentielle totale du second ordre de u; la différentielle totale de d'u, ou d^Uy sera la différentielle troisième de u, etc. Les mêmes définitions et notations s'appliquent, s'il y a lieu, aux différentielles successives des variables x et y.

Le but que nous nous proposons est d'exprimer les différentielles totales successives de Uj en fonction des dérivées partielles successives de u par rapport àx etày, et des différentielles successives de x et de y.

Or, si l'on diffërentic l'expression (1) d'après les règles du N" 50, dont nous avons fait remarquer la généralité, on trouve

rf, du = (Pu = d{DsU) ' dx -♦- BxU • d'x -*- d{DyU) • dy + DyU • rf*y.

Mais comme D-rW, D^w sont fonctions de x, y, on a par l'équation (i)

d(D,w) = D':pM ..dx -H DyDxU • dy,

d (Dyu) = BsDyU • dx -i- D*yW • dy,

d'où, substituant, comme DyD,M = D-^Dyt/, on trouve

(2) d*w = D'xW • dx*-*- 2D,DyU • dxdy + D\u • dy*-i-D,M • d*x -4-DyM • d*y.

En formant de nouveau la différentielle totale de cette expression d'après les mêmes règles, on obtiendrait l'expression de d'w en fonction des dérivées partielles de u jusqu'au 3"" ordre, et des différentielles dx, dy, d'x, d'y, d'x, d^y; et ainsi de suite. Mais ces formules générales seraient de peu d'utilité, parce que, dans les applications, la fonction u, et celles qui en dérivent par la différentiation, se présentent sous la forme de fonctions explicites de x, y, dx, dy, d*x,..., et qu'il est toujours plus simple d'appliquer directement à l'expression dont on veut former la différentielle totale les règles pour différentier une somme, un produit etc.

Remarquons que, dans le système de notations adopté, les équations (1) et (2) devront s'écrire

, du . du ,

dx* dxdy "^ dy* ^ dx dy

69. Nous avons, pour plus de généralité, considéré x et y comme des variables dépendantes, et leurs différentielles dx, dy comme variables. Si l'une d'elles, x par exemple, était la variable indépendante, on prendrait dx constant, et d*x, d^x,... seraient nuls.

Si X, y étaient deux variables indépendantes, on pourrait faire dx, dy

constants et d*x, d*y,... nuls : dt^ ne changerait pas, mais on aurait

simplement

Il est même facile, dans ce cas, d*obtenîr une expression symbolique de la différentielle d'ordre quelconque rf"M. En effet, Tégalité

du = dsU •+• dyU

peut s'écrire symboliquement

du = {ds -f- dy)u.

Pour former d'w, on devra diffërentier partiellement du en x et en y, mdxeidy étant constants, ne doivent plus être diffêrentiés. Donc, Ton pourra écrire

d^u = d.dw = ds{du) + dy{du) = (rf, -h dy)duy

d'où

d*w = {ds -H dy) (d* -*- dy) u = (d, -♦- dy)'w.

£n poursuivant le même raisonnement, on voit que pour former d'il il

suffit de multiplier encore symboliquement par ds + d^, et qu*en général

on aura

d''ti = (d, -+- dyYu,

Les produits et les puissances des caractéristiques d,, dy sont ici de purs symboles d'opérations à effectuer : il faudra, pour tirer de cette formule sa vraie signification, développer, par la formule du binôme, (d, + dy)* comme si d, , dy représentaient des quantités ; écrire le facteur ti à la suite de chaque terme, et interpréter le résultat conformément aux notations des différentielles partielles. Ainsi Ton trouvera

d*M = {ds -H dy)*M = (d*s -H 2d;rdy -H d'y)w = d*sU + ^dsdyU -H d'yW, ce qui est, sous une forme différente, la valeur de d'w trouvée plus haut.

70. Il est parfois commode, quand on a pour but de trouver les dérivées partielles successives d'une fonction de deux variables (x, y), de former d'abord ses différentielles totales, en traitant x, y comme des variables indépendantes. On obtient des résultats de la forme

du = pdx •+• qdyy d'w = rdx^ -+• ^sdxdy -f- <dy',...,

P) ?9 ^9 ^9 ^ désignant des fonctions connues de x et de y. Comparant ces résultats aux formules générales ci-dessus, et observant que les quantités dx, dy sont indéterminées, on aura

du du d'w d*M d*w

Tx-P' Ty"^^' d^*^''' dld^-'' dp-''-'

ce qui résout la question.

Tout ce que nous avons dit des fonctions de deux variables s^étend, sans difficulté, à des fonctions de trois ou d*un plus grand nombre de variables, dépendantes ou indépendantes.

Exercices,

fl. Soient u,v deux fonctions de a?, y; {dx^ dy)j {Sx, Sy) deux systèmes de valeurs attribuées aux différentielles des variables ; {du, dv), (Bu^ Sv), les systèmes correspondants de différentielles des fonctions. On a

duBv — dvSu du dv du du dx^y — dyZx dxdy dy dx t. Étant donnes

calculer du, d*u, en supposant dx, dy constants. S. Etant donné

u = e"' cos 6y, trouver d^u.

R. d"M = e°* o" cos bydx^ -i- na**"'*6 cos ( 6y -f- - jdx^^^dy — . a a**"* 6* cos ( 6y-|-2^ j(te»-*dy*H 1- 6* cos [ 6y+-^ Jdy*«