FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

§f . Les fonctions de plusieurs variables indépendantes donnent lieu à des problèmes analogues aux précédents. Soit d'abord z une fonction, ordinairement inconnue, de deux variables indépendantes x et y; et

,r n/ dz dz d*z \

une expression qui renferme, outre les variables, les dérivées partielles successives de z par rapport k x et h y.

Le premier problème, celui du changement des variables indépendantes ^ consiste à éliminer de la fonction V les variables x, y, pour introduire deux nouvelles variables r/, (, liées kx eih y par deux équations données, et les dérivées partielles de z par rapport à t/, f, au lieu des dérivées par rapport à x, y.

Il faut donc, d'abord, chercher à exprimer D^z, DyZ, D*,z,..., en fonction des dérivées partielles de z par rapport à w, t. Pour cela, on pourrait considérer z comme fonction immédiate de ti, t, et ces dernières variables comme dépendant de x, y : on formerait alors D,z par la règle des fonctions composées, etc. Mais la méthode suivante, plus élégante, est aussi plus commode dans les principaux cas où ce problème se présente.

Si l'on regarde z comme fonction de x et de y, et que l'on forme sa

différentielle totale, on a

, dz . dz .

az = -^ ax -^T- dy.

dx dy ^

Les variables x, y étant données en fonction de Uj t, on en déduit

dx = adu -h (3rf<,

dy = oLidu + piclf, ^9 ^i9 P» P19 étant des fonctions connues de t<, t; d'où

Mais, d'autre part, si Ton regarde z comme dépendant immédiatement de u et ty Ton a

, dz ^ dz .

dz =^ -r- du -¥- -rr dt.

du dt

et, égalant ces deux valeurs de c/z, observant que du, dt, sont des quantités indéterminées, on obtient

dz dz dz