CL - — h «i -=- = -r
dx dy du
r. dz r, dz dz
équations d*où Ton tire -r- > -r-» en fonction de w, ^ -t-> --- • ^ dx dy du dt
De même, si Ton forme rf*z, en considérant z comme fonction de w et f,
soit médiatement par Tintermédiaire de x, y, soit immédiatement, Ton a
dH = — - du« H- 2 ^—r- dudt h- -t^ dt^.
du* dudt dt*
Mais en différentiant de nouveau x et y, et prenant du, dt constants, on a
d*x = ydu* -H ^ôdudt h- e dt*, d*y = yidu* -+- ^Sidudt -h tidt*,
y, 3,... étant des fonctions connues de u, t.
La substitution des valeurs de dx, dy, d*x, d*y dans la première expression de d*z lui donnera la forme MrfM* -*- ^dudt -+- Pdt*; on égalera les deux valeurs de d*z, et on observera que les coefficients de du*, dudt, dt* doivent être égaux de part et d'autre. Gela fournira les trois équations
j d*z d*z j d^z dz dz d*z
dx* * dxdy * dy* ' dx dy du*'
-^d^.'^^-^^'^^-^)dIdy'^^'^'W''^ '^ f^^d*z ^r^n d*z ^, d*z dz dz d*z
P dl« -*■ ^^^' M'y -^^'W^ 'd. -^''dy^-lû*'
d*z d*z d*z desquelles on tirera -^y -j-j- > -pj* Et ainsi de suite.
Il ne restera plus qu'à porter, dans l'expression de V, les valeurs tpou-
dz dz d^z . ,
vees pour —5 —, — ? etc., puis a remplacer encore x et y par leurs
valeurs en u et f, et le problème proposé sera résolu. Exemple. Soient
cl*£ d^z dit* dt/*'
r, 6 deux nouvelles variables; et
op = r cos 0, y = r sin 0.
On a
dx = cos 0rfr — r sin 0rf0 , dy = sin Bdr -*- r cos 0d0 ,
^*x = — 2 sin drd0 — r cos 0rf0S d^y = 2 cos edrrf0 — r sin 0rf0«. La méthode précédente conduit aux équations
^dz , ,^dz dz cos -r- -♦• sin -7- = -;- 5 dx dy dr
, r,dz ^dz \ dz
— sm -7- -4- cos -r- = - -rr j dx dy r ((0
d'où Ton tirerait DsZ et D^z; puis aux suivantes :
cos* -r- -+- 2 sin cos -=— r -♦- sin* 0-r-r = -r-r > ax* axay ay* dr*
r^d^z d^z d*z dz dz d}z
r*sin*0-r-; — 2r*sin0cos0-î— r- +r*cos*0-r-s — rcos0-; rsin0-p=-;Tr'
ax* dxdy dy* dx dy a0*
Il su£St d'ajouter ces deux équations membre à membre, après avoir
multiplié la première par r*, et d'avoir égard à la valeur ci-dessus de -7- ,
pour trouver
du rf*z
' \clx*"*" dy*) ^dr~^
d'où
^ ■ ' ' ' dr* ' cI0«
d*z d*z d*z i d*z 1 dz
dx* dy* dr* r* d0* r dr
La forme des équations données a permis ici de simplifier quelque peu la marche générale.
M. On peut aussi avoir à changer toutes les variables. Soit toujours
„ -/ dz dz d^z \
y = fl Xy y. z, -7-5 -T-» -r—^ •.. 1
l'expression à transformer, et supposons trois nouvelles variables i;, u, f, lices à Ty y, z par trois équations données. Comme d'ailleurs z est une fonction de x et de y, ' il n'y a que deux variables indépendantes, et si Ton choisit comme telles u et f, les quatre autres seront fonctions de celles-là. Il s'agit d'introduire, dans l'expression de V, les nouvelles variables V, ti, f, ainsi que les dérivées partielles de v par rapport à u, ^
Pour exprimer d'abord les dérivées partielles de z en fonction de celles de r, reprenons l'équation
Les variables a:, y, z étant données en fonction de v, w, <, on aura, en
les différentiant, des expressions de la forme
!dx = adv H- (3dw -h yd^, dt/ =: oLidv + (3idw -t- yidt, dz = (yadi; -*- ^^du -+• y^dt^ a, (3, ... étant des fonctions connues de v, t/, ^ Enfin, l'on a
, du , dv dt;=-;-au -\--rrdt.
du dt
Substituant cette valeur de dv dans les équations précédentes, puis remplaçant dx, dy, dz par les valeurs ainsi obtenues dans l'équation (d), ses deux membres auront la forme Mdu-^Ndt; et comme dw, dt sont arbitraires, leurs coefficients devront être respectivement égaux dans ces deux membres. On aura ainsi deux équations du premier degré qui feront
. dz dz ^ , ^ dv dv , . , ,
connaître -5-? -r- en fonction de -r-» -7-? et des variables v, m, <. dx dy du dt
On procède de la même manière pour les dérivées d'ordre supérieur.
Considérant z comme fonction de x, y, on a
j* ^*^ji o ^'^ j j d'^z , , dz j^ dz -,
On remplace dx, dy, d*x, d*t/, d*je par leurs valeurs tirées des équations (2), différentiées en regardant du, dt comme constants, mais dv
comme variable, puisque v est fonction de u et de (. On substitue ensuite, dans réquation résultante, à dv sa valeur ci-dessus, et à d*v sa valeur
dM* dudt dt* '
et Ton voit sans peine que les deux membres de Féquation prendront la
forme Prfti'-*-2Qrfwrf< -f-Rc/i*. Les coefficients de rfti', dwrff, d«* devant
être respectivement égaux de part et d'autre, il résultera de là trois équa-
d*z d^z d*z dv
tions qui fourniront -7—, - — — > -p-» exprimés en fonction de -p- »
ax* dxdy dy* du
dv d^v d^v d*v 1,. . . j
-r-> T-T» -r-7 » -r: » et des variables. Et ainsi de suite.
dt du* dudt dt*
Si Ton reporte ensuite, dans la fonction V, les valeurs trouvées pour
dz dz
-7- > -J-» etc., et si Ton remplace x, y, z par leurs valeurs en r, w, f,
la transformation demandée sera effectuée.
83. Les méthodes précédentes pour le changement, soit des variables indépendantes, soit des variables et de la fonction cllc-méme, s'étendent facilement au cas où il y aurait trois ou un plus grand nombre de variables indépendantes.
Exercices.
dz dz
«. Transformer V=a5- y-— en prenant pour yariables indépendantes r, 6; on a
x:=zr cos 6, y =^r sin 0.
dz
dz dz ». Faire la même transformatitn sur V=" a? -r--H y — •
dx dy
R. V=:r--dr
S. Transformer Téquation
en posant
a;-4-y=:tt, x— y = /. R. T~T:=t)-
Transformer " = ■-—;■—; — ( -— - 1 , e
rfar dy' \dxdy J
étant donné
dic» dy* \dxd!/J "" (a,9j — ^aj)« 1 dï? dï* l diirii J J
Cette propriété peut être généralisée, ft Transformer réquation
da^ dy^ dz* ' les nouvelles variables r, 6, ^^ étant données par les équations
a; = r sin cos ^^ y = r sin 6 sin •]/ , z-=. r cos 6.
dr sin 6
k Transformer Pexpression
dd
sin*e d<^«
vK^^W
en introduisant les variables r, 6, ^^ définies dans l'exemple S.
% / sin* 6
/dr \
sin I — sin 6 -h /• cos 6 I
9. Soient >, /x, v, trois nouvelles variables liées à a;, y, z par les équations
Transformer en >, /*, v, l'expression ds* = dae*-*-dy*-4-dzr*.
11. d8 -^^,^,j(^,^.)d/ -+-(^,^,j(^,__^,jtf/^ -^(6«-v«)(c*-V*)'''-
8. Deuo; fonctions ^, ç>| des variables a?, y, 2r vérifient l'équation
df dfi df d(pi df dfi
dx dx dy dy dz dz '
Transformer cette équation en prenant pour variables indépendantes >, /x, v (ex. 7).
a/ aï. ai*. a/A
