Soit

une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes d'une variable or, les coefficients Oo, ai^-* cr„,-* étant positifs ou négatifs. Voici quelques propriétés remarquables des séries de cette forme.

I. St, pour une valeur Xi de x, ta valeur absolue du terme général anX* ne croit pas indéfiniment avec n, la série (i) est convergente pour toute valeur de x numériquement inférieure à Xi,

Car, soient a», r, ri les valeurs absolues respectives de a», x, Xi. La série

in 1 — 2-*-*'--*

ri ri* ri"

étant évidemment convergente lorsque r < ri , si l'on multiplie ses termes respectivement parles facteurs «o, ain, aari',-' «nri",*-, qui, par hypothèse, ne dépassent jamais une limite donnée, on aura une nouvelle série convergente (20, IV)

Cette série n'est autre que (1), dans laquelle on réduit chaque terme à sa valeur absolue : sa convergence entraine donc (22) celle de la série (i).

Celle-ci est donc convergente pour toute valeur de x telle que Ton ait r <C^i« I^c plus, il ressort de la démonstration que, entre ces limites^ la série reste encore convergente si Ton réduit chaque terme à sa. valeur absolue.

D'après cela, marquons dans la suite des valeurs absolues de x. croissant à partir de zéro, la plus grande valeur ri de r pour laquelle ««r" ne devient pas infini avec n; il suit du théorème précédent que la série

Oo -I- ttiX -h asx' -♦-.. + o„x** + ...

sera convergente pour toute valeur de x numériquement inférieure à ri, et divergente pour toute valeur de x numériquement supérieure à ri; car, dans le dernier cas, le terme général a„x** croîtrait indéfiniment. Pour X = dbri, il pourra y avoir, soit convergence, soit divergence.

85. II. La somme de la série (i) est une fonction continue de x, dans l'intervalle des valeurs de x où, la série est convergente. Soit 5 la somme de la série; posons

S»= tto -H ttiX -*-••-♦- an l x**"* ; Rn = «nX** + ttn^i X"+* H- • • • J

d'où

S = 5n -♦- Rn.

Pour un accroissement infiniment petit Ax de la variable, Ton a

As = Asn + AR„.

Or, si nous désignons par p une quantité comprise entre r et n, la série

étant convergente (84), on peut prendre n assez grand pour que Texpression

soit moindre qu'une quantité e, choisie aussi petite qu'on lèvent; eta/brtiori^ pour toute valeur de x numériquement moindre que p, on aura

val, abs, [a«x** -h a„|.ix"+* -♦-••••] <^ e. %

Donc, la valeur absolue de ARn sera moindre que 2e. D'autre part, Sn étant une fonction entière et continue de x, on pourra, en prenant Ax assez petit, rendre la valeur absolue de Asn moindre que e, et par suite, celle de As moindre que 5e. Et comme e peut être supposé aussi petit qu'on le veut, on voit que As décroit au-dessous de toute grandeur donnée si l'on prend Ax suffisamment petit; donc la fonction s de x est continue.

Remarque. La continuité de la série s'étendra jusqu'à x = Xi inclusivement, si la série ao -♦- <x^r^ -♦-•••-+- a»ri** est convergente.

86. III. Deux séries ordonnées suivant les puissances ascendantes d'une même variable x, et qui ont des sommes égales pour toute valeur de x qui assure la convergence de ces séries, sont identiques terme pour terme.

Soient

Qo -{- ttiX -{- OsX* -4- ... -4- OnX" -+-•••, ho + biX -h 6sX* -4- ... -4- 6nX** -♦-•••,

les deux séries proposées, convergentes Tune et Fautre pour toute valeur de X numériquement inférieure à une quantité donnée ri. Posons x=0; Fégalité des sommes des deux séries donne Féquation

ao = 6o.

On a donc, entre les mêmes limites,

X {tti -4- a^X -4- ttsX* H ) = x{bi -h biX -4- 65X* H ),

et en divisant par x, supposé différent de zéro,

ai -4- OsX H- ttsx* -♦- ••• = 6i -*- biX -4- 65X* -4- ••••

Concevons que x tende vers zéro : le premier membre, d'après le théorème précédent, a pour limite la valeur de la série pour x = 0, c'est-àdire Oi/ pareillement, le second membre tend vers 61; donc ai = 6i.

Retranchant ai et 61^ et divisant par x, on prouvera de même que Oi=68, et ainsi de suite. En général, an = bn, et les deux séries sont identiques.

Remarque. Les théorèmes I, II et III, ainsi que leurs démonstrations, s'appliquent même à des séries dans lesquelles a«, x seraient imaginaires : il suffit de substituer partout le module à la valeur absolue des quantités.