FORMULES DB TAYLOR ET DE MAGLAURIN

87. La formule de Taylor a pour objet le développement d'une fonction en série convergente, ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes de la variable, ou de l'accroissement de la variable à partir d'une valeur donnée. Nous ferons usage du lemme suivant :

Soit ç(z) une fonction de la variable 2, qui reste continue ainsi que sa

dérivée ç'(z) depuis z = a jusqu'à z= b^ ci soit (p(cf) = 9(6) : la dérivée (f/{z) doit s'annuler pour une valeur de z comprise entre a et 6.

En eflFet, la fonction continue (p{z) ne peut reprendre deux fois la même valeur, pour jz = a et pour z= 6, sans être, dans l'intervalle, alternativement croissante et décroissante, ce qui exige que sa dérivée (f\z) change de signe entre z = a et z = 6 ; et comme elle est continue, elle passe nécessairement par la valeur zéro.

Soit F(x) une fonction de la variable x; x et x + A deux valeurs quelconques de la variable : nous nous proposons de développer, s'il est possible, F(x -4- h) en une série convergente qui procède suivant les puissances entières, positives et croissantes de h. Et comme la méthode des coefficients indéterminés indique quelle serait dans ce cas la forme du développement, nous sommes conduits à poser

ce qui est évidemment possible, quel que soit le nombre », pourvu que

l'on détermine convenablement R„.

Admettons que la fonction F(x), et ses dérivées successives jusqu'à

l'ordre n inclusivement, soient continues par rapport à x depuis x jusqu'à

x-vA; faisons

p étant une constante positive, égale ou inférieure à n, et cherchons la valeur qu'il faut attribuer à P.

Pour cela, soit z une variable qui admet toutes les valeurs de à A, et posons

(p(r) = F(x-i-ir) + (A-r)F(x-*-2) + fc^V'(x-^z) -!-...

■*- r^Tq^tij F- (' ■*- -) -^ (A - ^)'P-

Pour z=0, (p{z) se réduit à F(x + A), d'après l'équation (A); pour x = A, <p(x) est encore égal à F(x+A) : d'ailleurs, il résulte évidemment des conditions supposées que (p(z), et sa dérivée ©'(z), varient d'une manière continue de jc=0 à z=h. Donc ^'(r) s'annule (87) pour une valeur de z comprise entre et A; valeur inconnue, mais que nous pouvons représenter par 9A, en désignant par 9 une quantité comprise entre léro et l'unité. On aura ainsi

(p'(eA) = 0.

Op, en dérivant par les règles ordinaires et effaçant les termes qui se détruisent, on trouve

et comme le facteur {h — z)^^ ne peut s'annuler pour aucune valeur de z comprise entre et h, nous égalerons à zéro le second facteur après avoir remplacé z par 0A, ce qui donnera

Oa a donc, pour la valeur cherchée de Rn ,

Concevons maintenant que Ton fasse croître n indéfiniment, les conditions de continuité relatives aux dérivées ne cessant pas d'être remplies, et qu'alors Rn tende vers la limite zéro. La somme

Flx) -4- h¥\x) -*-...+ , ^^" ' ,, F«-< (x)

tendra indéfiniment vers F(x -h /t), puisqu'elle en diffère d'une quantité R» tendant vers zéro, ce qui revient à dire que la série indéfinie

F(x) + AF'(x) + ^^ F"(x) +

est convergente et a pour somme F(x -4- h). C'est en cela que consiste le théorème de Taylor.

La quantité R«, qui mesure l'erreur commise en arrêtant la série après le n'*"» terme, se nomme le reste. Ordinairement, p étant arbitraire, on le suppose égal à n, et l'on a

La formule de Taylor prend alors la forme (I) nx + A) = F(x) + AF'(x) + ^ F"(x) + • •• + ^^'^^~'^^ F-'{x)

8§. Remarques, — I. Il résulte d'une remarque faite plus haut (86) que la fonction F(r-*-A) ne peut être développée que de eette seule manière, en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de h. Toute série remplissant ces conditions serait, en effet, identique avec la série de Taylor, terme pour terme.

II. Il est indispensable, pour appliquer la série de Taylor au développement d'une fonction donnée, de s'assurer que le reste R« tend vers zéro lorsque n devient infini. Il y a un cas où cette condition^est certainement remplie, c'est celui où F"{x) ne peut dépasser une limite donnée, quelque grand que soit n, pour aucune valeur de x entre a: et x h h. En effet, soit II le nombre entier immédiatement supérieur à h; on a

1 2- -w"! 2. .(^—1) ^ii+l "n'^i 2-.(fJt— 1)' \ii) '

et comme ce dernier facteur a pour limite zéro, - étant <^ 1, le facteur

A** a aussi pour limite zéro, n croissant indéfiniment. D'ailleurs

F''(x-f-0/») ne peut pas croître, par hypothèse, au-delà de toute limite; donc etc....

La principale difficulté consiste donc à reconnaître si F"(x) peut, quand n devient infini, croître indéfiniment.

III. On ne sait rien de 0, sinon que cette quantité est comprise entre zéro et l'unité. Cependant l'expression du reste suffit pour faire connaître deux limites de l'erreur que l'on commet, en prenant seulement n termes de la série. Car, soient A et B la plus petite et la plus grande des valeurs par lesquelles passe la fonction F''(x), lorsque la variable passe de la valeur X à la valeur x -*- A. On aura

F" (x -^ 0A) = M (A, B), et par suite

«•=M(î:|bi^'ï:|^«)

IV. Si, dans l'équation (i), on fait n égal à l'unité, on obtient

F (x -4- A) — F (x) = AF (x -+- 0A),

formule souvent employée, et qui se déduit aussi du théorème du n° 41 .

V. Dans certains cas, la forme adoptée ci-dessus pour R» permet difficilement de reconnaître si le reste converge vers zéro. On recourt alors

à la suivante, qui s'obtient en faisant p = 1 dans l'expression générale obtenue d'abord :

89. On peut écrire de diverses manières la formule de Taylor. Si la fonction F(x) est désignée par y, et si fe est raccroissemcnt qu'elle reçoit lorsque l'on change x en x -h fe, l'équation (i) prend la forme

^ ^ ^ ^ dx dx^ i.2 rfx»-» 1.2..(n-4) i.2..nWxV

Si, dans réquation (i), on remplace par Xo, x les deux valeurs quelconques de la variable qui y sont désignées par x, x -♦- A, on aura A = ar — xo, et il viendra

On peut prendre Xo = 0, et Ton a

9 étant toujours compris entre et 4 .

Cette formule est celle de Maclaurin. Elle fournit le développement d'une fonction F (x) suivant les puissances ascendantes de la variable x, mais à la condition, résultant de ce qui précède, i° que la fonction et ses dérivées restent continues depuis x = jusqu'à la valeur de x que l'on considère ; 2° que le reste

Rn = T-J^F»(ex) i-2- n '

tende vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Ce reste peut aussi se mett'e sous la forme

que l'on obtient en remplaçant x par et A par x dans l'expression donnée plus haut (a).

Les remarques faites au sujet de la série de Taylor s'appliquent néeessairement à celle de Maclaurin. Ainsi, le développement n*est possible que d'une manière, etc.