h x) = x — — -h— — •••± 7 -hR

et, en adoptant pour Rn la seconde forme (|3),

Rn = ±

* X /x — SxX**-*

"~ 1 -*-ex\i -*-exy '

(1 4- ex)'

La convergence de la série exige d'abord que la limite du rapport

I — (n — 1)- I du terme de rang n au précédent soit moindre que l'unité

en valeur absolue, ce qui exige que Ton ait

Si X est >0 et <1, le facteur-; r- a une valeur finie moindre que

X — Qx /% — 0x\"""*

X ; la fraction ;:- est > et <x, donc ( ; r- ) a pour limite

zéro quand n devient mfini; lim R„ = 0. Si x<0 et > — 1, en faisant

x = — r, il vient

«•=*ïéô;(î5|r^

le premier facteur a une valeur finie < ". > le second tend vers zéro

avec - 3 car ^ est toujours moindre que r. Donc R« a encore pour

limite zéro.

Ainsi pour toute valeur de x comprise entre ~ i et -♦- i, la fonction proposée est développable en série convergente par la formule de Maclaurin, et Ton a

93. Cette formule ne s*appliquant pas aux valeurs de x supérieures à l'unité, il est utile de la transformer. Posons

et supposons que p, q soient tels que x = M ( — i , -i- 1). Nous aurons, en changeant x en — x dans la série trouvée plus haut,

fjrt M>3 ffth 1. (i j)= — X — ; . .,

ou, en mettant pour x sa valeur,

1 «=i g I sT^"^^ I VP"""gV , V/^-gV , 1

-r -V Ip-hq ^Kp-t-qJ ^Kp-^qJ J.

En choisissant p et qf de manière que {p — q) soit très-petit et (p + q) très-grand, on obtiendra une série très- convergente, qui donnera l.p, si \,q est connu.

Exemples ; p = 2, </ = i ,

p = iO, 9 = 8,

Pour passer les logarithmes népériens aux logarithmes vulgaires , il

suffira de multiplier les premiers par le module M, dont la valeur (1. iO)""* peut être calculée à l'aide de la dernière série. On trouve