Proposons-nous encore de développer la fonction

a étant une constante quelconque. Les dérivées

F'(x) = a (i -4- xy-' , F"(:r) = a (o — 1 ) (i -4- x^'^ . . .

restent continues tant que x > — i. On a donc

Pour que la série soit convergente, il faut que le rapport x

tende vers une limite numériquement moindre que Tunité, ce qui exige

que X soit compris entre — i et -*- i. Il suffit donc de considérer ce cas.

En adoptant la seconde forme (p) du reste, on trouve

- a(a — i)...(a — n-4- i) ,^ ., ^ /i-^GV"* Rn = -^ — T ' X** • (i -I- 6xV~* • I I

Le premier facteur tend vers zéro quand n devient infini, car la série

A ' .(a — 1)(a — 2)...(a — n + 4) qui a pour terme général — -. — ^-jr x»» est convergente,

comme on s'en assure sans peine, pourvu que x* soit <^i. Le second facteur, (i -nôx)*»"*, a une valeur finie, puisque i -4-Gx]>0 dans notre

hypothèse. Le troisième facteur, i - — r- J est moindre que l'unité,

car si x>0, on a i-*-Gx]>i>i — 9; si x<0, on aura x = — r, r étant compris entre Oeti, donc 6r<0, 1 — Gr>i — G; dans les deux cas on a donc

i -4- Gx < i *

Le reste Rn, étant composé de trois facteurs dont l'un a pour limite zéro, les deux autres ne croissant pas indéfiniment, a pour limite zéro;

la série de Maclaurin est donc applicable, et Ton a, pour toute valeur de X comprise entre — i et -4- i, quel que soit a,

Si X est, en valeur absolue, plus grand que Funité, la série est divergente et par conséquent inapplicable, à moins que a ne soit entier et positif: dans ce cas, la dérivée (a -+- i)**^' de (i + xY étant nulle, le reste Ra+i est nul aussi, et la formule de Maclaurin donne le développement de (i -h x)" en un polynôme de a + i termes ordonnés suivant les puissances croissantes de x, pour toute valeur de x.

Si X est égal à db i, la formule (B), dite du binôme^ est encore exacte sous certaines conditions, qui exigent une discussion spéciale.

Les cas particuliers suivants se rencontrent fréquemment :

•ri i . 1 • ^ 3 , 135 .

^ ^ /rri» 2 24 24.6

95. En posant F(x) == arc tg x, on aurait, d'après l'expression connue de F''(x) (ch. IV, ex. 7),

F» (0)= (— 1)«-« 1.2... (n— l)sin (n^^

x' x^ x^ arc tgx=:x— -^-t-~ — ^ -»-•••;

la série est convergente ou divergente suivant que x* est < ou > i. Dans

le premier cas, le reste

x** sin (n arc cot 9x) R» = ± —

converge vers zéro en même temps que - » la somme de la série est

donc égale à arc tg x. Il en est encore de même si x = i, et Ton a

TT ^ 1 i i

Cette formule étant trop peu convergente pour le calcul de tt, on a >ecours à la suivante : posons

d'où

j2 = arc tg - > -^ = 4^3 — Uy

/. 7r\ tff4z — 1

en calculant tg 4z, nous trouverons 7--.» d*où

'«"^À' Î=4arctgl-arctgi5,

d'où enfin

•0. La vérification de la condition lim Rn = oiFrc souvent des difficultés, puisqu'elle exige que l'on sache former l'expression de la dérivée n'**^ de la fonction à développer. Mais on peut dans plusieurs cas s'en dispenser.

Ainsi, lorsque l'on sait d'avance que la fonction F(x) est développable en série convergente de la forme

Oo -H aix -I- aax* -*-•••-♦- a^x" -i-

comme on sait aussi (88, I) que ce développement doit coïncider, terme pour terme, avec celui que fournit la formule de Maclaurin, il est clair 9ueB„ doit tendre vers zéro. On peut alors se borner à calculer les coefficient ao, ai,..., soit par la méthode des coefficients indéterminés, soit en formant F'(0), F"(0),.., F^fO) de proche en proche, par la méthode indiquée au n*» 74.

Si l'on a à développer une fonction composée, la formation des déri* rivées successives sera généralement très-laborieuse, et il vaudra mieux développer les fonctions plus simples dont la proposée se compose, puis combiner, à l'aide des règles connues, les séries trouvées. Soit, par exemple,

p(x) = 14^-î:f), x=;M(— 1, -vl).

On a

X* ac' X*

(i -4- j)-« ==i — X-HX* — X' -♦-•••,

et CCS deux séries restent convergentes (84) si Ton réduit chaque terme h sa valeur absolue. On a donc, d'après la règle de multiplication des séries (25, XIII),