Développer, par la série de Maclaurin, F (a;) •=sid*x
., ir(2«)« (2»)« . (2x)» 1
n. bina; 2L1.2 1 2. 3-4 1 2- 3.456 J
On a
gCosf 2ôaî+n|jî
la série est exacte quel que soit x, 9. Développer e«»cos6x. — En posant a=rcosf, 6 = rsin y, on trouve
r*x* r*sc^
e*»cos6aj:=l -f-roccoso-h ;— ^cos2f>-t- 7-5—= eos3y + '",
R„ = 7^^^ c«®* cos (60aî -!-«?); 1 • J ••• w
la série est exacte pour toute valeur de x.
Cas particulier où a=i6=:i, y=-'
On développe de même c** sin 6a?.
S. Développer y = (arc tg x)*.
On voit sans peine que le développement est possible, et que Ton a
ce qui permet de calculer tous les coefficients de la série en partant des trois premiers.
4. Développer -, r ; • — R. On met la fonction sous la forme ■ . ■ . 1
et Ton trouve
i +x4-aj*-|-aî'
pour toute valeur de x comprise entre — i et -4-1. ft. Développer la fonction
« arc tg a? — 1. V/ÎHhœT
R> On a, X étant compris entre — 1 et +i, la série convergente
X* X* »• ac*
t. Démontrer, en s*appuyant sur la formule de Taylor, que Ton a ««££M = F'(x), Kw^ = F"K etc.,
àx tendant vers la limite zéro.
§ 4. EXPONENTIELLES IMAGINAIRES.
97. On a établi, pour toute valeur réelle de la variable x, les équations
cos X = 1 —
iâ iâ-5-4 i-2-5-4.5.6
sin X = X 1 !-••••
et, d'après une remarque déjà faite (84), ces séries restent convergentes lorsqu'on réduit leurs différents termes à leurs valeurs absolues. Concevons qu'on remplace, dans ces trois séries, x par une quantité imaginaire
z=X'4- y (/ — 1 = r (cos 9 -v j/ — 1 sinG); on aura des séries imaginaires convergentes, car les séries
obtenues en réduisant chaque terme à son module, sont convergentes d'après l'observation faite ci-dessus; et nous avons démontré (24, X) qu'une série imaginaire est convergente lorsqu'elle satisfait à cette condition.
Gela posé, nous représenterons enoore les sommes de ces séries imaginaires respectivement par 6*+»^^^, cos(x+y[/ — 1), sin(!r-4-yj/ — 1), en sorte que nous auronSypar définilion^ pour toute valeur imaginaire de z,
(1) < cosz=l- — -*
sinz=z —
z' 2*^ JZ'
De là résultent quelques conséquences importantes. Si, dans la première équation, on remplace z par z^ — 4, on a
> — / z* JZ' / z^ z^\/ — 1
résultat identique à celui qu'on obtient en ajoutant terme à terme la seconde série à la troisième multipliée par [/ — 1. On a donc
(2) e*^^-*^= cos z 4- j/ — i sin z, et en changeant j3 en — z^
(3) e-»>/^;= cos J3 — |/ — 1 sin z.
On déduit de ces égalités les suivantes :
(4) cosz= > sinz= ; »
qui ont lieu, comme les précédentes, pour toute valeur réelle ou imaginaire de J3; et aussi celles-ci :
98. On démontre sans peine que les propriétés fondamentales des fonctions e*, cos.r, sinx, subsistent quand la variable devient imaginaire. On a d'abord, r, z' étant imaginaires.
en effectuant la multiplication des séries d'après la règle du n' 25, puisque les modules de leurs termes forment deux séries convergentes. Or, cette dernière série n'est autre chose que e*+''; on a donc
On Terrait de même, à l'aide des formules (2), (5), (4}, (5), que l'on ae*»=(c*)~,
cos* z 4- sin' jc = 1 , cos{z -¥- z')=i cos z cos z' — sîn z sin z', etc.
D'après cela, nous pouvons sommer les séries (1), ou trouver les quantités imaginaires représentées par e*, cos z, sin z, z étant égal à x-+-y^^ — i. Nous aurons d'abord, d'après les équations (5) et (2),
g,+y|/=T çr . ^ixTTi . ^ ^g^g y ^ |/i sin y), ensuite
cos(a:H-y/-i)= ^ = ^ ^
<ioà, en vertu de l'équation précédente,
ey -4- c-y / — ■ e» — c-y .
cos(x-+-j/j/ — 1)= cos X — y — 1 — r sin x.
On
aurait de même
& -f. c^y . / — r ty — e^y
sin(x + yj/— 1) = - — - — smx-f-j/— 1 r — cosx,
^ Sorte que les fonctions e*, cos z, sin z, sont ramenées à la forme type ^-i-Y(/— ÏW.
^B. Les formules ci-dessus sont susceptibles de nombreuses applica- ^*is. Pour en donner un exemple, si dans l'égalité
*^^ a lieu, évidemment (5), pour toute valeur réelle ou imaginaire de r,
^* > Nous n*empruntons ici à la théorie des fonctions d'une variable imaginaire que ^Iques formules très-simples dont nous aurons besoin, cette théorie formant une ^ton importante de la seconde partie de ce cours.
* = ^|cos(n-i)--*-/— lsin(n— i)^!
oo pose x=c<>v^^, on trouve
1 ^ cO/=i ^ eîOv/Zï ^ ... ^ e(— *)0V^^ = - — iz^
x*^— • — rK-t (n-i) y — sin— -
et, en décomposant cette équation en deux autres,
sinycos(n — 1)- ^ -*- cos -♦- cos 29 -♦- •• • + cos (n — 1)6= —. . >
sm-
sm —. sm (n — 1) sin 9 + sin 29 -I- . . -4- sin (n — 1) 9 =
sin-
— Soit encore à trouver la valeur du produit
. TT . 27r . , .. TT *Z . *^
sin - • sin — ••• sin (n — 1) - = Il sm — • n n ^ ' n Jz, n
Ajtt En mettant pour sin — sa valeur en exponentielles imaginaires, on a
sans peine
(6) n 8in- = — — = — n e » n V« — ^j-
Op
D*autre part, on a vu (9) que toutes les racines de Féquation x* — i =0 8*obtiennent en faisant successivement fc = 0,l,2,..., n— 1, dans
l'expression
tkit,
cos H 1/ — 1 sin — = e *
d'où il suit que
X*— 1= n Ix— e * J={x—i) n Va:— e • ) ;
d'où, comme
X* — i =(x — l)(i -♦- a; -4- x'-*-»»« -4- «••"*), il vient
Faisons x= 1 dans cette égalité : nous aurons
et en substituant dans Féquation (6), nous trouverons cette formule remarquable :
. TT . 2;: . , -.71 n sm - • sm — ••• sin (n — i) - = - — - •
Exercices.
