FORME INDÉTERMINÉE

100. Nous avons déjà remarqué (57) que certaines fonctions, pour une valeur particulière de la variable x dont elles dépendent, se présentent sous une forme qui n'apprend rien, telle que §, ^ , 0- oo , etc., et que, dans ce cas, on cherche la limite vers laquelle tend la fonction, lorsque la variable x s'approche indéfiniment de la valeur particulière a, qui donne lieu à la forme indéterminée. Cette limite se nomme la vraie valeur de la fonction pour a; = a, et nous allons chercher comment on la détermine, au moyen du lemme suivant :

Soient f(x), F(x) deux fonctions de x; a et x deux valeurs de la variable, entre lesquelles f(x) et F(x) sont continues, et F(x) constamment croissante ou constamment décroissante. Concevons que x passe, par accroissements infiniment petits, de la valeur a à la valeur x, et soient Ziif, Asf,..., A^f ; AiF, AsF, •••, AnF les accroissements correspondants des fonctions, ces derniers tous de même signe. On a

f(x) — f(a) Aif >4- Aaf -4- »■ . -4- AJ ^ / Aif A.f A^fX

F(x) — F(a)~AiF-*-A8F-t-. .-i-AnF"""* V^AiF' A^F' *"' A^Py

Af n étant indéfiniment croissant. Mais le rapport — a pour limite, comme

on l'a vu (44), ~t:Ou rrr-r; on en conclut, à la limite ou pour n infini, ^ D,F F (x)

Cette égalité ne suppose aucune condition de continuité pour les dérivées f'{x)y F{x)y entre a et x.

101 . Considérons d'abord les fonctions qui aflfectent la forme §. Si, pour une valeur a de x, on a

f(x) la fraction Jr-^ se présente sous la forme ^ pour x = o. L*cquation (1)

devient, x étant supposé différer infiniment peu de a,

la limite du premier membre est la vraie valeur cherchée ; quant à celle

f(x) du second, évidemment, si ,. \ - tend vers une limite déterminée quand x

tend vers a, cette limite sera aussi celle de la valeur moyenne, et Ton

aura, par conséquent,

(5) lim —-7 = um --7-4 •

Si r(x), F'(x) sont finis et différents de zéro pour x = a, la vraie valeur

cherchée est ^:, { ; si ffx) est nul, ou F'(x) infini pour x=o, la vraie

valeur est zéro; si f(x) est infini ou F(x) nul, c'est l'infini.

ffx) Si Ton avait encore r{a) = 0, F'(a) = 0, la limite de -^ se présenterait i son tour sous la forme §, mais on lui appliquerait la même règle Qu'à la proposée^ et l'on aurait

Si celle-ci était encore indéterminée de forme, on lui appliquerait le même procédé, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on tombe sur deux dérivées qui ne s'annulent pas simultanément pour x == a.

Exemple : la fonction ; — a la forme 2 pour x :^ 0. En lui appli-

<iuanl la règle ci-dessus, on trouve successivement

e* — e«ïn« g* — e«'"*'cosx ,. e* — ^'"«(cos^x — sinx)

lim =ltm — ; = lim :

X — sin X i — cos X sm x

e* — c*'"'(cos'x — Ssinxcosx — cosx) .

= Itm ^^ __ = i .

cosx

La vraie valeur cherchée est donc égale à l'unité.

On simplifie souvenl les opérations par des artifices convenables : soit, par exemple, la fraction