x-^x') 4-1.(1 — rr4-a;*) secx — cosx

dont on demande la vraie valeur pour x=0. Après Tavoir mise sous la

forme — —, z ■- cos x, comme le facteur cos x tend vers lunité,

1 — cos* a:

il suffira de chercher

hm -^ — r-i -= Itm 77 :

sin' X (1 -*- x* -*- X*) cos X sin x

On voit de même que le premier facteur de ce produit a pour limite 1,

X tendant vers zéro. La vraie valeur cherchée est donc lim -: — , c'cst-à-

sinx

dire l'unité.

La règle subsistant quel que soit a, on prévoit qu'elle s'appliquera même pour a = oo, c'est-à-dire lorsque, les fonctions f(x), F(x) ayant pour limite zéro quand x croit indéfiniment, on voudra connaître la limite de leur rapport. Soit, en effet, a une valeur de x très-grande ; dans l'équation (1), faisons croître x Indéfiniment, et remplaçons lim F(x) = 0, lim f(x)=0. 11 vient

F(a)~^% F'{xy

et comme, dans cette équation, a peut être supposé aussi grand qu'on le veut, on aura, en faisant tendre a vers l'infini,

lim -~{ = '*^ 7rrT= '*^ t^A. • F(o) F{x) F'(x)

109. Lorsque, pourx=a, f(x) et F(x) deviennent infinis, le rapport

-TT-x prend la forme indéterminée -^ • Pour connaître sa vraie valeur, F(x) ^ ^ '

posons

e étant très-petit, mais invariable* La continuité des fonctions f et F entre a-t- e et X permet l'emploi de la formule (1), et l'on a

Divisons haut et bas, dans le premier membre, par F(a;), et faisons

! tendre X vers la limite a; F(x) croissant alors indéfiniment, -Mr> \ ^ ^ ' ' F{x) F(x)

f(x) ont pour limite zéro, et le premier membre se réduit à /tm— ^-^« On a

donc

MEais, comme e peut être pris aussi petit qu'on le veut, a et a + e diffèrent aussi peu qu'on le veut, sans que cela influe en rien sur la valeur

du premier membre ; on peut donc, sans difficulté, supposer e infiniment

peUt, et l'on a, x ayant pour limite a,

Cette démonstration subsiste, lors même que la vraie valeur de la fraction est nulle ou infinie, et il suffirait, pour l'étendre au cas où a = Qo , de

regarder ai comme une constante ayant une valeur aussi grande qu'on le

veut.

Nous sommes donc ramenés, pour déterminer les vraies valeurs des fonctions de forme ^,à la même règle que dans le premier cas; mais il y a ici à observer que la dérivée d'une fonction qui devient infinie pour une

valeur finie x = a, étant aussi infinie pour x=a, la fonction -r;^ aura

pour x = a, la forme •^; il en serait de même de , etc., en sorte

que la même difficulté se reproduirait indéfiniment. Néanmoins, on

pourra généralement effectuer sur ces nouvelles fonctions des "simplifica-

tions, et déterminer la limite de l'une d'entr'elles, lorsque x tend vers a;

cette limite sera, en vertu de l'égalité ci-dessus, la vraie valeur cherchée.

Soit à trouver la valeur de — ^-^ pour x = 0. Nous aurons

cot. X

— ~ sin 'x

Uni — ^— ^ == Uni -—-^ /—r- = Uni == 0.

cotx / i \ X

y^ sin *xy

10S. Les autres indétermiDotions apparentes se ramènent aux précédentes. Si ((a) =: 0, F(a) c= « , le produit f (x)'F(x) prend, pour x = a, la forme oo . Mais on a identiquement

et ces deux rapports se présentent, le premier sous la forme § , le second sous la forme ^, ce qui nous ramène aux règles données plus haut. Si f(a)= 00 , F(a) = oo , la fonction f(x) — F(a;) prend la forme oo — oo :

on lui donne la forme § par une réduction au même dénominateur, et on

la traite comme précédemment. Soient a =0, f(x) — F(^) = cot ar,

on aura

,. /i \ ,. sinx — xcosx ,. xsina?

lim ( -f — cot X I = lim : = Itm = 0.

\x y X sin X sm x -4- x cos x

Enfin, si l'on a f(a)=0, F(o) = 0; ou f(a)=0, F(o) = 00 ; ou f(a)=oo , F(a) = l, la fonction F(xy(') prend Tune des formes Oo, ooo, 1*. On pose

ç(x) = F(x)'('), d'où 1. <p(x) = f(x) 1. F(x) ,

et, pour x=a, I.cp(x) prendra, dans les trois cas, la forme Ooo. Sa vraie valeur se déterminera par la méthode indiquée, et fera connaître celle de 9 (a).

104. Remarques» — 1° Il est parfois plus simple, dans le cas où les deux termes d'un rapport s'évanouissent pour x == a, de développer en séries convergentes le numérateur et le dénominateur, d'effectuer les réductions, puis de faire x=:a. Soit à chercher la vraie valseur, pour x =0, de la fraction

^,(^x~-sinx~-tgxj.

On peut lui appliquer la méthode du n^ iOi, mais il vaut mieux lui donner la forme

(3x — 2 sin x) cos x — sin x 5x* cos X

Sx^cosj

faisaol les réductions, supprimant x^ qui devient facteur commun aux deux termes de la fraction, et posant ac=0, on trouve pour la vraie valeur demandée

oV,l-2.3.4 123 1 .2.D.4.5y'^"~2Ô'

2° 11 est essentiel d'observer que l'application de la formule (5)

Uni = Uni

suppose, en premier lieu, que F'(x) reste constamment de même signe quand x tend vers la limite a; en second lieu, que le rapport des dérivées tende vers une limite déterminée, car il pourrait se faire que ce rapport

n'eut pas de limite, sans que l'on puisse affirmer pour cela que le rapport

ppi n'en a pas. Seulement, la limite de la quantité

ne pouvant plus être connue, la méthode proposée n'a plus de succès. Cherchons, comme exemple, la valeur de la fraction suivante, qui se présente sous la forme ^ pour x = :

X* sin -

m x = M (2xsin cos- )(1 -4-x).