x) -^"O^ X xj

Comme la quantité sous le signe moyenne ne tend vers aucune limite déterminée quand x tend vers zéro, on ne peut rien connaître de la limite de la moyenne elle-même, ni par conséquent de celle du premier membre de Féquation. Mais en écrivant celui-ci sous la forme

• xsin -5

on voit qu'il a pour limite zéro.

105. La dérivée d'une fonction implicite y, définie par une équation F(x, y)=0, prend la forme § lorsque, pour certaines valeurs de x et de y, les dérivées partielles de la fonction F s'annulent à la fois. Le moyen le plus simple de trouver sa vraie valeur consiste à différentier une seconde fois l'équation : le coefficient de cPy s'annule, car il est égal

tiP du

à -7- 5 et Ton a une équation du second degré en -~ qui, résolue, donne

deux valeurs pour cette expression. Par exemple, l'équation

donne

(t/3 — 48a«y)^ + (SOa'or — x*) = 0,

et pour x = 0, y = 0, la dérivée de y prend la forme ^. Différentiant de nouveau, et observant que le coefficient de d^y est nul pour y =^0, on a

(3t^î — 48a«) ^ -^ 50a« — 5x« = 0, d'où Ton tire, en faisant x et y nuls.

rfx y 48

ce qui donne les deux valeurs dont -^ est susceptible pour x = 0.

Ce problème n'est qu'un cas particulier d'un autre, dont nous ne parlerons pas, qui consiste à chercher la limite d'une fonction de deux variables x et y liées par une équation, lorsque cette fonction prend la forme § (0.

Exercices,

Trouver les vraies valeurs des expressions suivantes :

*• a^-5a^x-2a^ ' pour ^ = 2, (g V R. ^.

•• (Ti^, ' P»"' * = 1' (^5/ ''•

jj i 9 ^

j pour » = — 7> I Â I* *^' ■"

(0 Voir, sur ce point, un mémoire de M. P. du Bois Reymond, Journal de Cr T. 70.

^. — > pouraî = 0, ( - J. R. |/«.

l/a -4- » — J/a — X yj/

*• IhT^' pourx = 0,(^5j. R. l.(^-^

•• . > pour 05 = 0, ( Q !• — On trouve, par la méthode ordinaire ou

par le développement en série, que la vraie valeur est 2. sC — i ^ /0\ i

• •;: — ïT 7» pour aj=i, I - i- R.

a;«H-aî«l.aî — 1 ^ V/ "*'^*

ÏTj^in] ' pour . = 0, ^.J. R. -

, poura;=0, ( .). R. -5

X sin (sin a;) — sin' x ^ /o\ i

**• -ï» poupaî = (», M>0, (^). R. 00.