CHAPITRE XI
§ 1 . FONCTIONS d'u
106. On dit qu'une fonction F(x) de la variable x est un r pour une valeur Xo de cette variable, lorsque, pour U)ute valeur de x voisine de xd, F (x) est moindre que F (xo). Si, au contraire, on a constamment F(x} ^ F (xd) pour toutes les valeurs de x suffisammenl voisines de I, F(xo) sera un minimum de F(x): l'ordonnée de la courbe AMND llgurant la fonction F(x), celle-ci sera maximum au point M, minimum I au point N. Elle peut donc admettre plusicur^t aaxiiqa et plusieurs minima.
Pour reconnaître les valeurs de x qui rcn- I dent une fonction F(x) maximum ou minimum, désig;nons par h un aecroissement infiniment petit, positif ou négatif, de x. En vertu des déânïtions ci-dessus, la différence F (xo -i- h) — F(Xg)sera»^(;afive,quclquesoille6ignedcA,si F(io)c8t un maximum; eUe sera positive, si F (xo) est un minimum. En sorte que le caractère commun au maximum et au minimum, est que F (xo -+• k) — F(xo) reste de même signe, quel que soit le signe de la quantité infiniment petite h. Mais on a, 6 étant compris entre zéro et l'unilé,
F(ro + fi) — F(ï«) = AF(xo + M).
Supposons F'(xo)^ 0: 0A étant infiniment petit, F'(xo-4-6A) diffère
infiniment peu de F'(xu), par suite de la continuité de la fonction F'(jr) (58), et est conséquemment de même signe que F'(ro), quel que soit le signe de A. Le produit AF' (xo -♦- Oh) change donc de signe avec A, il n'y a donc ni maximum ni minimum. // faut donCy pour que Xo corresponde à nn maximum ou à un minimum de la fonction^ que l'on ait
F(xo) = 0.
Cette condition étant satisfaite, pour discerner si F(xu) est un maximum ou un minimum, nous observons que la formule de Taylor donne ici
F (xo + A) — F (xo) =Ç F"(a-o H- ÔA),
et, par la même raison que ci-dessus , F''(xo + SA) est constamment de
A* même signe que F"(xo), quel que soit le signe de A. Le facteur •-- étant
positif, îa différence F(xo-*-A) — F(xo) est de même signe que F"(xo), que A soit > ou <0 ; donc 1» si F"(aPo) < 0, on a F(xo -f- A) — F(xo) < 0, et F(xo) est un maximum de la fonction F(x); 2** si F'(xo) > 0, on a aussi F(xo -4- A) — F(xo) > 0, ce qui fait voir que x© correspond à un minimum de F(x); 3" si F''(xo) est nul, on ne peut rien conclure, et il faut recourir aux dérivées suivantes.
107. En général, admettons que l'hypothèse x = Xo annulle les n — i premières dérivées de la fonction, et non la n""»*. La formule de Taylor donnera la relation
F(xo + A) - F (xo) = T-^ — F- (xo + GA),
et puisque F'*(xo) n'est pas nul, F'*(xo + 6A) qui en diffère infiniment peu, sera de même signe que F'*(xo), quelque signe qu'on attribue à A. Si donc n est impair y A** changeant de signe avec A, le second membre de l'équation, et par suite F(xo-+- A) — F(xo) , changera de signe avec A, et il n'y aura ni maximum ni minimum pour x=Xo. Si, au contraire, n est pair, A" est essentiellement positif; le second membre de l'équation a donc même signe que F'*(xo), quel que soit le signe de A, et il en est de même de la différence F(xo -+- A) — F(xo). Il y a donc maximum si F"(xo) < 0, minimum si F"(xo) > 0.
Observons encore que l'on a
d'»F(x) = F'»(x)dx'',
dx étant une quantité indéterminée dont les puissances paires sont positives. Rien n'erapéche donc de substituer les différentielles aux dérivées de F(x), dans Ténoneé des théorèmes qui précèdent. Ainsi, la valeur oto de X devra annuler un nombre impair de différentielles successives de F(x), h partir de la première; et il y aura maximum ou minimum de F(x*), selon que la première de ces différentielles qui ne s*annule pas aura, pour x = Xo, une valeur négative ou positive. Cet énoncé est quelquefois plus commode.
Examinons l'usage que Ton fera de ces propriétés, dans les divers cas, pour trouver les maxima et minima d*une fonction.
108. — I. Si la fonction F(x) est donnée explicitement, on formera par les règles ordinaires sa dérivée, qu'on égalera à zéro. On déterminera les racines réelles de l'équation
puis on les substituera successivement dans la dérivée seconde F" (x), afin de discerner par le signe que prend F'^x) après cette substitution, si l'on a affaire à un maximum ou à un minimum. Si l'une des racines annule F"(x), on passera aux dérivées suivantes, etc. Ensuite, on substituera dans Texpression de F (x) les valeurs de x qui donnent un maximum ou un minimum^ pour calculer ce maximum ou minimum lui-même. Soit, comme exemple,
71 étant entier positif, a positif. On a
F'(x) = (x — o)«-» [(/i-4-l) X — a], F"(x) =;« (x — o)«-« [(W-+-1 ) x — 2tt]. On satisfait à l'équation F'(x) = en posant
La première valeur de x donne
elle rend donc F(x) maximum si n est pair, minimum si n est impair. La racine x = a annule, comme on le voit sans peine, toutes les dérivées de F(x) jusqu'à l'ordre n — 1 compris, et l'on a (64)
F'»(x) = i .2.5--.n[(w-f-1)x — wa], F'»(a)= i -S.- na.
Si n est impair, la première dérivée qui ne s*annule pas est d'ordre impair, il n*y a donc ni maximum ni minimum pour a; = a. Si n est pair, F'*(a] étant positif, F (a) est un minimum.
Les valeurs de la fonction qui correspondent aux deux racines de Téqualion F'(x) = sont ici
109. Remarques. — 1**Le calcul de la dérivée F"(xo) peut souvent être évité ou simplifié. Par exemple, F'(xo) étant nul, si Ton voit que F'(xo — e) est positif, F'(xo h- e) négatif, e étant positif et très-petit, il est clair (41, 111) que la fonction F{x), croissante jusqu'à x = Xo, devient décroissante au-delà, et que F(xo) est un maximum. Si, au contraire, F'(x) passait du négatif au positif quand x passe de Xo — £ à Xo+£, il y aurait un minimum poiipa; = Xo.
Dans d^autres cas, la nature de la question fait voir que celle-ci ne comporte qu'une solution, par exemple, un maximum ; et si d'ailleurs l'équation F(x) = n'admet qu'une racine réelle, on est sûr que celle-ci répond à la question, et toute vérification ultérieure est inutile.
^ La théorie précédente suppose évidemment que la fonction F(x), et celles d'entre ses dérivées dont on doit faire usage, soient des fonctions continues de x dans le voisinage de la valeur Xo qui répond au ma^icimum ou au minimum : sans cela les formules employées ne seraient pas applicables. Il en résulte que des maxima et mi ni ma de F(j) pourront correspondre à des valeurs de x qui n'annulent pas F'(x), mais qui rendent discontinue, soit la fonction F(x), soit F'(x). On s'en assurera, comme ci-dessus, en cherchant si la dérivée éprouve un changement de signe lorsque la variable franchit l'une de ces valeurs de x. Soit, comme exemple,
I^'équation F'(x) = ne donne aucune solution, mais pour x = 0, F'(x) devient infini; de plus, F'(x) est <0 pour x<0, F'(x) > pour x > 0; la fonction F(x) est donc décroissante en deçà, croissante au-delà de x = 0, doncF(0)==i est un minimum.
Nous ferons abstraction des solutions de cette nature dans l'application de la théorie aux cas suivants.
110. — IL Fonctions implicites. Soit y une fonjstion de x définie par réquatîon
Pour trouver les valeurs de or qui rendent y maximum ou minimum, on diffërentiera Tëquation, on en tirera la valeur de dy en x et y, et ou l'égalera à zéro. On cherchera les systèmes de valeurs de Xy t/, qui satisfont à cette équation et à la proposée; on substituera chaque système dans l'expression de d'y, tirée de l'équation cp(x, y)=0 par une nouvelle différentiation ; il y aura maximum pour y si le résultat est négatif, minimum s'il est positif.
Considérons l'équation
4i/* — 3y -♦- sin X = 0, qui donne
dy cosx d*j/ lây'sina: — 6j/*(i-i-sin*a:)-»-ysinx(2-t-sm*a;)
dx~3(l— 4y*)' dx* 9 (2y — sin x)»
On satisfait à l'équation dy = en posant cosx = 0, d'où sin x= db i . Si l'on prend sin x égal à Punité, l'équation devient
et a pour racines y = — I , y = -• Le système (sin x=1, y = — i)
donne -j-^ = - > 0; le système ( sin x=l, y = - ) annule aussi le déno-
dy minatcur de --^9 et l'on s*assurc facilement que cette dérivée n'est pas
nulle.
De même, en posant sinx= — 1, on trouve y =1, y = — - : la
seconde valeur ne donne ni maximum ni minimum de y, mais le système
(sin X = — d , y = i) rend la dérivée seconde de y égale à — ô ^^*
En résumé, pour toutes les valeurs de x comprises dans la formule sin X =3 + 1, la fonction y admet un minimum égal à — i; pour toutes les valeurs comprises dans la formule sin x = — d , y admet un maximum égal à H- 1.
111. — IIL II arrive fréquemment que l'on ait à chercher les maxima ou minima d'une fonction f (x, y) de deux variables, liées entr'elles par
une équation donnée
en sorte que y est fonction de x, et que f ne dépend toujours que d'une seule variable. La dérivée totale de f par rapport à x devant être nulle pour que f soit maximum ou minimum, on aura, pour les valeurs de x et de y qui satisfont à cette condition, les deux équations
rff df dy dcp d(p dy
dx dy dx ^ dx dy dx '
et, par l'élimination de -r^> celle-ci
dx
df dcp df dcp
dx dy dy dx '
qui ne renferme plus que x ely. En la combinant avec Téquation (p(x, y)=0, on en déduira les systèmes de valeurs de x et de y qui répondent à un maximum ou à un minimum de f, et Ton vérifiera si l'un ou l'autre a lieu, soit à l'aide du signe de d% soit par les conditions particulières du problème que l'on traite.
On pourrait de même chercher les maxima d'une fonction de trois variables liées par deux équations, etc., mais ces questions seront comprises dans une théorie générale qui seVa exposée plus loin.
Exercices.
Trouver les maxima et minima de la fonction F (x) dans les cas suivants :
t. F(a;) = a;« — TSaj^'hieaOaj—lOOO. R. » = — 6, moo?., F = — 2296;
x = — Z, min. F=— 3078; « = 3, ma»., F=1080î aî=6, min. F=296.
max, m t ^ X •
t. F(a;) = (i-»-a5 5)(7 — aj)«. R. a?=.0, mi»., F = 49; a;=l, waa;., F = 72; 05=7, min.f F=0.
