F f g?) = R. aj= — > mm. si o^>0, maa;. si a

— loO —

ft. F(jc)=e* — 2cosa;-4-e-'. K. x=0, tnin.\ F = 0.

, , i + 2a; arc tg a; „ , „ 1 / . 7r\

wm., F==l; a?=l, maa?., '^ = 9(l"*'â)'

sm a; (2n-f-i)sin ajcos (2n-f-i)a; — sin(2n-f-l)xcosa;=:0.

inéquation de condition est sm X

On y satisfait en posant !<> a;=r(2/+i)~, t étant un entier quelconque, ce qui

donne un maximum F= i si n est pair, un minimum F = — i si n est impair; 2o aj=i7r, qui donne un maximum F=2n-+-1; 5» tg(2n-4- l)aj=(2n-f- 1) tga;, équation dont les racines, que Ton construit par Tintersection de deux courbes, diffèrent

peu des valeurs de x comprises dans la loi x=)r—z ^r, et donnent alternativement

des maxinia et des minima.

9. Dans un levier du second genre en équilibre, quel doit être le bras de levier x de la puissance Q, pour que celle-ci soit un minimum, le moment M de la résistance étant donné ?

R. Soit g le poids de Tunité de longueur du levier. — On trouve

9. Trouver le rayon x du cercle qui donne le segment maximum sur un arc de longueur donnée 2a.

R. a; = — ; le segment est un demi-cercle.

K Couper un cône circulaire droit par un plan parallèle à la génératrice, de telle

manière que le segment de parabole obtenu soit le plus grand possible.

R. Soit a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon entre la génératrice

et le plan sécant ; on trouve

ûû. Chercher, sur une droite OM, la position du point lumineux M, à laquelle répond le maximum dVcIairement d'un élément plan situé en A. On sait que Téclairement est en raison inverse du carré de la distance AM, et en raison directe du sinus de Tanglc que fait AM avec le plan de Télénicnt éclairé.

R. Soient le point de rencontre de la droite OM avec le plan de Télémcnt, x =0M, a = OA, ai=OA| la projection de OA sur OM. On trouve

ce qui dctermirc rfeuï points, situés do part et d'au correspondent tous deux ù un niaximum.

11. Trouver la roui« que doit suivre un rayon lumineux, passant d'un milieu A où la vitesse de transmission de la lumière est u, dans un milieu B oij clic est V, pour atteindre son point d'arriviJe dans le temps le plus court possible.

R. A', B' étant les projections des points A, B sur le plan de séparation lirf, soient AA':=a, BB'=;i>, A'B'^e; x, y la angles du rayon ineideni et du rayon réfracté avec la normale au plan HN. Le trajet du rayon droites dans le plan AA'B'B; la fonction qui doit jtrc

cl l'on a la relation

alea-»-î.tgy = On trouve, pour la condition du

du pion de réicmeni, et qui

IS. Etant donné un prisme hexagonal rcguliei ABCDËFLSIN..., on mené, par un point S pris sur l'mc trois plans passant par les rliagimalcs Ai;, C£, EA de la basi supérieure, et on remplace cette base par te poinlemcnt à ' trais races ainsi obtenu. Uémontrcr que le nouveau solide u même volume que le prisme primitif, quel que soit te point S; choisir ce point de manière à ce que la surface totale du solide soit un minimum (Alvéole» dei ebeitleê).

&, En appelants l'inclinaison des faces du pointera eut sur la base r]u prisme, on trouve

% 2. FONCTIONS DE PLl'SIEDflS VARIABLES.

113. Considérons d'abord une Tonction F(x, y) de deuxvariables, indcpendtintcs l'une de l'autre. On dit que la fonction devient maximum pour uti système de valeurs Xa, j/o des variables, lorsque, pour toutes les valeurs de x voisines de Xo, et pour toutes les valeurs de y voisines de t/o, an B constamment

F(x,s)<F(A,yo).

Si, dans les mêmes circonstances, F(x,^) restait constamment plus grand qucF(xo, ^d), on aurait un minimum pour x = xii, y^t/o.

La recherche des maxîma et minima d'une fonction de deux variables se ramène au cas déjà traité, à Faide des considérations développées au N*» 45. Au lieu de regarder x, t/, dans le voisinage des valeurs ar©, yo, comme des variables arbitraires, on regarde y comme une fonction de x, fonction dont la forme est indéterminée : il sera nécessaire et suffisant que, pour les valeurs xo, j/o des variables, F(x, y), devenu fonction de x seul, soit maximum ou minimum quelle que soit la relation entre x et y.

Or, d'après, la règle établie pour les fonctions d'une seule variable, on doit poser rfF = 0, ou

dx dy ^

dx est arbitraire; la relation entre y ci x étant indéterminée, il en est de même de la dérivée de y par rapport à x, ou du rapport de dy k dx: cela revient à dire que l'équation précédente doit être satisfaite pour des valeurs quelconques de dx et de dy, et que, par conséquent, il faut que les équations

dx = ^' d^=^'

soient satisfaites pour x=Xo, y=yo, sa?is quoi le système (xo,yo) ne produirait ni maximum ni minimum de la fonction F (x, y).

Supposons que cette condition soit remplie : on sait encore que F sera un maximum ou un minimum, suivant que d^F sera négatif ou positif pour les valeurs Xo, 3/0 des variables. On a d'ailleurs

dx étant constant. Posons a; = Xo, y =yo, et soient alors, pour abréger, d^Ç, d^,, =,A, -^, = B, ^^L,

le coefficient de d^y étant nul par la condition ci-dessus. Il faudra donc

que l'expression

A?« -f- 2U/Î -^ By)«

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs de $, yj. Ecrivons celte expression sous la forme

il est clair que la condition sera satisfaite si les cocfScients A, B

sont de même signe; et d'autre part, comme on peut choisir Ç. y) de

manière à annuler à volonté l'un des deux termes, l'expression pourrait

changer de signe si A, B — ---> n'avaient pas le même signe. Il faut donc,

et il suffit, que l'on ait AB — L* > 0, ou que l'expression

dxdy) '

fOur x = Xoy y = yo? soit positive; ce qui exige, tout d'abord, que A et B soient de même signe, et différents de zéro.

Cette condition remplie, le signe de d^F sera le même que celui de A : si A < 0, F(aro, j/o) sera un maximum de la fonction; si A > 0, F(xo, yo)sera un minimum.

Si l'on avait à la fois

d^F étant nul pour ar==Xo, t/ = j/o, il faudrait pour qu'il y eût maximum ou minimum (106) que rf'F fût nul aussi, quels que soient Ç, /), c'est-à-dire que les quatre dérivées partielles du S"® ordre de la fonction s'évanouissent; puis, que d*F restât constamment de même signe pour toutes les valeurs possibles de ^, /;, et ce signe ferait connaître s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Et ainsi de suite.

113. Ces principes s'appliquent à des fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Soit F(jc, y, z) une fonction de trois variables: pour qu'elle devienne maximum ou minimum pourx = xo, y==yo, z = Zoyi] faut que sa différentielle totale dF s'annule, pour ces valeurs des variables, quels que soient dx, dy, djz; ce qui conduit aux équations

dx ' dy ' dz

Sa différentielle totale du second ordre d^F se réduit alors, en posant

dx = Ç , dy = ri, dz^==^^y

1J^~ ' dy''~ ' dz*~ ' dxdy~ ' dxdz ' dydz~ '

— lU — à la forme suivante :

et il faut qu'elle ait un signe invariable, quelques valeurs qu'on attribue à Ç, y;, ç. Mais on peut récrire ainsi :

OU encore, en posant

et opérant comme ci-dessus (112),

OU enfin, en posant

d*F = A A -4- ^/î + ^çY -*- A' ^/) -*- ^,çY -*- AV.

La condition nécessaire et suffisante pour que d*F ne change pas de signe, quels que soient Ç, /], Ç, sera que A, A', A" soient de même signe, ou que Ton ait

AB— L« > 0, (AB — L«) (AC — M«) - (AN— LMj«> 0.

On vérifiera donc si les dérivées partielles du second ordre de la fonction F satisfont, pour x = xo, f/=^09 etc., à ces conditions, auquel cas F(iro) J/o, ^0) sera un maximum si A < 0, un minimum si A > 0.

On voit sans peine que la méthode s'étend à une fonction d'un nombre quelconque de variables.

Nous avons laissé de côté, bien entendu, les maxima qui coïncideraient avec des solutions de continuité de la fonction ou de ses dérivées partielles.

Quant à la vérification du maximum ou du minimum par l'examen de d*F, on peut souvent y suppléer par des considérations particulières tirées de la nature du problème.

114. — Fonctions implicites. Nous aborderons immédiatement un cas. général, qui comprend les divers problèmes que l'on peut se poser sur

les maxima et minima des fonctions implicites de plusieurs variables. Soit à chercher les maxima ou minima d'une fonction f(x, ?/,..., n) de m variables, liées entr*elles par A; équations

<pi(x,y,...,t/)==0,

9*(x,y,..., ti) = 0,

en sorte que f dépend de w — k variables indépendantes. D'après la théorie exposée précédemment, tout système de valeurs de ces variables qui rend la fonction f un maximum ou un minimum, satisfait à Féquation rff = 0. D'autre part, les équations cpi = 0, ©, = 0,... qui ont lieu entre toutes les valeurs des variables, entraînent les équations rfçi = 0, d(p^ = 0, etc.. On devra donc poser, pour qu'il y ait maximum ou minimum de la fonction f(x, t/,..., u),

dî , dî dî

•^- ox -♦- -r- rfy 4- ••• -♦- -7- rfw= 0, dx dy ^ du

-7- dx -I- -^* dy -♦- • • • -4- -~ du = 0, dx dy ^ du

dcpk , d^k , ^9* j A

-y- ax -*--p- ay -*- ••• -+■ -7— att = 0.

dx dy du

Entre ces A:+ i équations, on éliminera les k différentielles des variables t/,... que l'on regarde comme fonctions des m — A; variables indépendantes X, y,..., et l'équation résultante

Prfx -*- Qdy -*-... = 0,

devant avoir lieu pour toutes les valeurs possibles des différentielles dx, df/^...^ se~ décomposera comme il suit :

Ces m — k équations, jointes aux k équations (pi = 0, ©« = 0,..., devront être satisfaites par les systèmes de valeurs de x, y,..., u qui donnent un maximum ou un minimum de f, et serviront à les déterminer.

Mais l'élimination des différentielles se fait d'une manière plus élégante, et presque toujours plus commode, par la méthode des multiplicateurs. Après avoir multiplié les équations d(pi = 0, ^92 = 0,..., par des facteurs

indéterminés >i, As, ...^ on les ajoute membre à membre avec Fëquation df = 0, en ayant soin de réunir les termes affectés du facteur dx, du facteur dy^ etc. Si Ton dispose ensuite des k indéterminées Xi, Xs,..., Xi de manière à faire évanouir, dansTéquation résultante, les coefficients des k différentielles dépendatites ctt/,..., il faudra alors, comme il vient d'être dit, égaler à zéro les coefficients des m — k différentielles indépendantes dx, dy,,,,; ce qui revient évidemment à égaler à zéro, quoique pour des raisons différentes, les coefficients de toutes les différentielles dx, dy,,.., du, dans Téquation obtenue par Taddition des premières. On aura ainsi les m équations

dî .

d(pi

rfcp,

. d(fk dx

dcp* "-^^^dy-

dî .

— -1- /i du

rfçi d%i

dcp* • -♦- /* = du

Jointes aux A équations <pi = 0, (^« = 0,... elles serviront à déterminer les A; multiplicateurs li, 1%,.,,, X^, et les valeurs des m inconnues x, y,,,», u, qui répondent h la question.

Il restera toujours, d'ailleurs, à vérifier par le signe de dH, si les valeurs trouvées pour ces inconnues répondent bien à un maximum, ou à un minimum, à moins que la nature particulière de la question ne dispense de cet examen.

115. La théorie précédente comprend le cas où Ton cherche les maxima et minima d*unc variable liée à plusieurs variables indépendantes par des équations données : la fonction f se réduit alors à l'une des variables, par exemple, à u.

Elle comprend aussi le cas, indiqué au N° IH, où toutes les variables dépendent d'une seule : le nombre k des équations cpi = 0, 92 = 0,.*.. est alors égal km — i. Il n'y a d'ailleurs rien à changer au procédé.

Exercices.

M . Maxima et minima de la fonction

F(a?, y) = oaj* -*- ôay -4- cy* -4-dy-+-ea5 -4-/.

R. Il faut que Ton ait 6* — iac<0 ; la fonction est un minimum pour

2ac--M 2cd — be