F(x, y) = aj*-t-y*— 2a5*H-4ry— 2y

R. On trouve aî=0, y=0 qui donne un maximum; a? = -hV/2, y = -1/2, minimum; 05 = — 1/2, y=|/2, minimum.

S. Soit F (a?, y) = o'ac'y — 2aaf'y -♦- aî*y — 2oaî*y» -f- 2x'y* -hasV. La fonction est-elle maximum ou minimum pour a;=0, y = 0?

R. On trouve, dans cette hypothèse, d*F=0, d'F=6a*dx*dy ; il n'y a ni max. ni min.

4. Déterminer les axes de la section faite par un plan passant par le centre de TellipsoVde.

R. Appelons /, m, n les cosinus directeurs de la normale au plan sécant; le problème revient à trouver le maximum et le minimum de la fonction

r* =: a;* -4- y* -♦- z*, les variables satisfaisant aux équations

-T4-rs-+--s=l» te-4-my + nz = 0.

La méthode (lU) donne les équations

oc tJ z

Multipliant par x, y, z et ajoutant, il vient

d'oiS

ou

la* rnh* «c*

*='»H=:^' î'=^«;3Trï.' ^=*'H^r^'

d'où

Cette équation donne deux varleurs pour r' ; ce sont évidemment les carrés des demiaxes de la section. On trouve ensuite

ce qui achève de déterminer le point (a;, y, 2r), auquel aboutit la direction du rayon maxinium ou minimum.

ft. Résoudre le même problème pour la surface dont Téquation est

•. Partager un nombre donne a en trois parties a;, y, z^ telles que { :=z x^^y^z^ un maximum ; m; n; p sont entiers et positifs.

m n p w-hn-Hjj

max.

9. Par un point donné (a, 6, c) mener un plan qui fasse^ avec les plans coordo rectangulaires, le tétraèdre de plus petit volume V. R. Soit

réquation du plan cherché ; on aura

1 {la -h mb -♦- «c)'

6 Imn

les variables /, m, n satisfaisant à l'équation

On trouve

Imn i ,T 9 ,

\=z^abc',

le plan cherché est parallèle au plan passant par les projections du point (a, by c les axes.

9. Par le point (a, 6, c) mener un plan tel, que la diagonale $ du parallélipi construit sur les portions d'axes interceptées, soit un minimum.

R. On trouve

Imn

La question ne comporte pas de maximum.

•• Quel est le triangle sphériquc de moindre périmètre, parmi ceux qui ont une face donnée ?

R. Soient x^ y, z les côtés du triangle, 2p son périmètre ;

<n p — X p — y p — z 2p = a5+y + ;5; tg | tg ^-y tg -^ tg —^=con8t.

On trouve

x = y = z; le triangle est équilatéral.