FORMULE DE TAYLOR POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
116. Soient d'abord F(x, y) une fonction de deux variables; A, k des accroissements quelconques donnés à ces variables : il s*agit de développer F (x 4- A, y -I- fc) en série procédant suivant les puissances ascendantes de h et de k.
Pour cela, soit t une nouvelle variable; posant
u=:x -^ htj v = y -^ kt, cp(e) = F (ti, v) = F (x -♦- Af, y -+- kt),
nous développerons cp(f) suivant les puissances ascendantes de t par la formule de Maclaurin, puis nous ferons t = i dans le développement. Nous avons
et il faut calculer les coefficients <p(0), <p'(0),... Comme x, y, A, fcsont indépendants de (, nous aurons
et
d-(p(f) = d'»F(ti, r)
s'obtiendra en développant la différentielle n*^** de F(ti, v) dans Thypothcse où duy dv sont constants (69). On peut même prendre df = 1 , ce qui donne
du = h^ dv = ky 9"(() = d"cp(() = d*'F(î/, v),
pourvu qu'on ait soin, dans le développement de d"F(w, v), de remplacer
tlw par h et dv par k.
Observons d'ailleurs queF(u, v) se déduit de F(x;y) en remplaçant xel y par u et v, et que, par suite, d**F (w, t?) ou (p*(Q s'obtiendra en rem- P^ant, dans d"F (x, y), x par m, y par v, rfx par A et dy par A. Faisant ensuite ( = 0, pour calculer les coefficients de l'équation (i), w, v se ï'Wuisent respectivement à x, y ; donc
(pn(0) = d«F(x,y),
où dx=h, dy=k. De même, 6 étant compris entre et J,
R, = -r-^ <p- (et) = -ri— Ïd-Fix, y)l
les indices signifiant que, dans le développement de d'F, on doit rem — placer r par i -*- Qht, y par y •+- Okt,
Substituant ces résultats dans l'équation (1), faisant l = i, et observant que l'on a (p(l) = F(a; + h, y + k), on trouve la formule suivante :
F(x + h,y + k) = F(x,y) + dF{x, y) + '^^;^ + •• (2) { d«-«F(x,tf) i r,„, .1
OÙ il est entendu que Ton remplace dx, dy par A, A, après le développement des différentielles indiquées.
Cette formule, reposant sur Féquation (i), suppose que ç(0, cp'(0)«««> (p*»(<) soient fonctions continues de t depuis f=0 jusqu'à < = 1 ;*c'est-àdire que la fonction F(x, y) et ses différentielles, jusqu'à Tordre n inclusivement, soient fonctions continues des variables depuis x jusqu'à Jc-t-A, depuis y jusqu'à y -^k. Si cette condition ne cesse pas d'être réalisée, et si le reste R» tend vers zéro, lorsque n devient infini, la formule (2) donne le développement de F(x-*-A, y + k) en série indéfinie suivant les puissances ascendantes de h et de k,
117. La formule correspondante au théorème de Maclaurin se déduit immédiatement de l'équation (2), en supposant que x, y se réduisent à zéro, et en remplaçant les lettres A, k par x, y. 11 vient ainsi
( F (X, y) = F (0, 0) + [dF (X, î,)]. + ^ [rf«F {X, y)], -»-•..
en marquant par l'indice les différentielles où x et y doivent être supposés nuls, et en se rappelant que, dans le second membre de l'équation (3), on doit remplacer dx par x et dy par y, après le développement des différentielles.
118. Les formules (2) et (3) sont les plus faciles à retenir et à appliquer; on les présente souvent sous une autre forme en développant les
différentielles indiquées, ce qui n'offre aucune difficulté d'après la relation (69)
rf«F(x, y) = (d, H- dy)- F(x, y).
Si Ton fait ensuite les changements indiqués pour les formules (2) et (3), elles deviennent respectivement
Fi.^h,y^k)=:F(x,y)^^^^h^-ky-^^^
*xl ^ rd-*F, , , ,, rf«-*F . ,, d-«F, ,"1
\ i 2--(n— l)Lrfx"-* ^ 'dx^'-^dy dy^^ J
1 rd-F^ d"F . ,, d-F,
i.2...wLdx'» rfx*-*dy dy^ J.+GA.y+Gi
d r /rf*F\ , / d"F \ /rf"F\l
