wL \dxV0 ^\dx^*dyjB Vc'Wu

Dans réquation (5), Tindice 6 marque que l'on doit remplacer x par 6x, y par Oy, dans les dérivées qui en sont affectées.

On démontrerait, par le même procédé, des formules analogues pour le développement des fonctions de trois, quatre,... variables.

Exercices.

1. Développer assin y-^y sin» suivant les puissances de x et de y. R. On a

n— - 1 [d^{x siny-^y sin x)]q = n sin — ^ — n • (cte""* -4- dy*~*) dxdy ;

on constate sans peine que R» a pour limite zéro, et l'on obtient

f it*-\'y* x*'^y* x«-l-y« , "1

t. Développer

arc te t

suivant les puissances de A et de Al-

L'expression de la différentielle n«*«"« a été donnée (ch. VI, ex. 5). On en déduit, en posant arc tg ^ = ti,

/isinu— Asinf u-*-î J /i»sin2u--2Msinl 2u-4- 5 V^*sin ( 2u +

arctg^ — r =tt ^ H -i^ ^

(aj« ^ ^») « (»« ^ y«) *

A» sin 3u - 3A»Asin ( 5tt H-^ ) -1- ohk* sin Tsu + ~ j — ^ sin f 3tt ^-^ j

Pour reconnaître si R» tend vers zéro, on met, à l*aide des exponentielles imaginaires

et en posant - = tg 5?, a» arc tg - sous la forme

H i)M .2... (n- i) ( -j-ZLl )« sin n(u-^),

^as "^r y J

et l'on s'assure que l'exactitude de la série précédente suppose seulement

s. Soit F (a?, y, 2r, ...) une fonction homogène de degré m des variables x, y, z : on a donc, « étant quelconque,

F(a5-»-«a?, y-»-ay, 2f-*-a-y,...)= (1 -4-a)"»F(x, y, ^,...)'

Développant le premier membre suivant les puissances de ax, ay, a;?, ... par la formule (i{), cl (i + a)*" par la formule du binôme, puis égalant les coedicients des mêmes puissances de « dans les deux membres, on trouve

dF dF dF

La première de ces égalités a été donnée (chap. III, ex. 19).