TANGENTES ET NORMALES AUX COURBES PLANES

§ 1. COORDONNÉES RFXTILIGNES.

^919. On a vu (18) que la limite de la sécante, menée par un point donné M d'une courbe et par un point infiniment voisin M', se nomme la tangente à la courbe au point M; son coefficient angulaire r est de terni î ne par Téquation

r = Uni 7»

h, A étant les accroissements infiniment petits de Tabscisse et de Fordonnéc q^ and on passe du point M au point M'.

Soient (x^ y) les coordonnées rectangulaires ou obliques du point de contact M, (?, Yi) les coordonnées courantes de la tangente : on aura donc

ax dx c^ l'équation de la tangente au point (x, y) sera

L'équation de la courbe donnera Texpression de dy, où Ton attribuera ^ ^, 2^ les valeurs qui conviennent au point M, et la tangente sera ainsi connue. La dérivée de y ayant généralement une valeur déterminée et

unique (40), il en résulte une direction diJterininde de In tangente en clinque point, ce qui n'exclut pas la possibilité, en certains poinis particuliers, d'une tnngenle multiple ou indélcrminëe. L'i^quslion de la courbe étant ordinairement sous la forme

OR en déduit

dx dy -^ '

(irnnl de lï In valeur de dy pour la porter dans l'équalion de la tangente,

11 suHît donc de difTérentier l'équalion F=0, et de remplacer dx par ^ — X, dy pnr v) — y; on aura l'équation de la tangente h la courbe.

190. Ln normale, en un point d'une courbe, est la perpendiculaire à la langenle. Supposons les axes coordonnes rectangulaires : le cocflicient

angulaire de la normale sera , et comme elle passe par le point (x, y),

son équation sera

On peut aussi lui donner la forme suivante, en tirant de l'équalion f{^iy) = t* l'expression de -j- :

Si les axes étaient obliques, l'équalion se eompliqucrail.

ISl. Ou nomme sous-tangente la distance du pied P de l'ordonnée au point T oïl la tangente coupe l'axe des X, celte distance élant positive à droite, negative à gauche du point P. Ln sous-itormale est, de même, la dislance du point P au point N où la normale coupe l'axe des x.

D'après ces définitions, on aura les expressions de la sous-tangcutc cl de la sous-normalc, en grandeur cl en signe, en tirant des équations de la tangente et

de la normale les valeurs de $ — x dans riiypolhèse •/}=0, qui appartient aux points où ces droites coupent Taxe des x : en les désignant respectivement par S/, Sn, on trouvera

dx ^ dy

On nomme longueurs de la tangente et de la normale les portions de ces droites comprises entre le point de contact M, et Taxe des x. Les triangles rectangles MPT, MPN donnent pour leurs expressions

ou

^*V/'"*"¥^' N = yy/^

dx'

On donnera au radical le signe qui convient pour obtenir un résultat positif. Enfin, Ton a souvent besoin de déterminer la distance F de Foriginc à la tangente, ainsi que le point Mi(xi, t/i) où tombe cette perpendiculaire. L'expression connue de la distance de Torigine à une droite dont Tcquation est donnée, conduit aux formules

dF dF ^xdy — ydx ^^ ^ dx ^ dy

|/dx* -♦- dy^

//dF\« TdFV

Le point (xi , ^i) est à la fois sur la tangente, et sur la droite qui a pour équation

y] dx

i Ty

(perpendiculaire à la tangente menée par Torigine) : il est donc donné par les équations

(yi— y)dx — (Xi — x)dy = 0, Xirfx -♦- ytdy == 0.

En éliminant x et y entre ces équations et celle de la courbe donnée, on aura l'équation du lieu géométrique du point Mi, ou de la podaire de la courbe par rapport au point 0.

19S. Appliquons ccii roriniilcs a quelques exemples : 1. Ellipse: ^-h^ = | a* — b* = c*.

Équation de lu tangente : -j ''" m = ^ •