Logarithmique: y = «e"', S, = ^con^t

5. Cyctoïde. — Un cercle roule, satis glisser, sur une droite indiifinic OX : un point de lu eirconférencc du cercle décrit la cgdoïde. L'ori-

le étant au point 0, où te I pnint décrivant coïncide avec le poinl du contact du cercle I générateur et de la droite fi\e, axes OX et OY étant reetaa- I gulaircs, soient C le centre, A le point de contact du cercle dans une position quelconque, M le point décrivant, AC=a, l'angle ACM^^o). Abaissant MP, MQ perpeudiculaires sur OX et sur le dianièlrc Al!; observant que, par la condition qui régit le roulement du cercle, la longueur OA est égale à l'arc de cercle AM, on aura

OA=«u, APs=MQ = a8in», kC = a, CQ = oeosw,

AP étant positif ou négatif selon que P est à gauche ou à droite de A, CQ étant positif ou négatif selon que Q est en dessous ou au-dessus de G. On a, dans cette hypothèse,

a: = OP = OA — AP, y = MP = AQ==: AC — CQ, ou

x = a{(ù — sin w),

y = a{\ — cos w).

On peut éliminer (ù et obtenir l'équation de la cycloïdc sous la forme

x = a are cos =p y yiay — y* ;

mais il vaut mieux conserver les coordonnées x, y exprimées en fonction de l'angle variable <ù.

La discussion de la courbe n'offre pas de difficulté : elle se compose, Fanglc 6) variant de à oo , d'une infinité &arcades égales, contigues, ayant pour base une longueur 27ra égale à la circonférence du cercle générateur, et pour ordonnée maximum le diamètre 2a de ce cercle. On peut donc se borner à faire varier &) de à 2?:, ce qui donnera une seule arcade.

On tire des équations de la courbe

dx=:a{i — cos co] doi), dy=ia sin (ùd(ù,

dy sino dy . .^

-/ = , > S« = w-/=asinw = AP,

dx i — cos w *^ dx

donc la normale MA passe par le point de contact du cercle générateur y et la tangente est MB.

Exercices.

i. Sous-tangente de la courbe qui a pour équation

a? = c y ou y =

S. Mesurer la portion de la tangente à la courbe

se' -t-y ' = a '

comprise entre les axes. R. Cette longueur est a.

3. Trois droites fixes étant données par leurs équations a; cos a + y sin a — 5=0, « cos ^ -♦- y sin ^ — 5' = 0, a? cos y-*- y sin y — 5" = 0, les distances p, q, r d'un point quelconque du plan à ces trois droites respectivement, sont représentées par les premiers membres de ces équations, où (x, y) désignent alors les coordonnées du point. Toute

courbe peut être représentée par une équation entre les rapports -, ■=• des distances d*un

point quelconque de cette courbe, aux droites fixes; ou bien par une équation homogène

entre ces distances. Trouver Péquation de la tangente dans ce système de coordonnées trilinéaires?

Concevons que Ton mette pour Pj 9, r leurs valeurs en (x, y) dans Téquation de la courbe : Inéquation de la tangente sera

et Ton a

df df df ^ df df df .

— = -f COS a -H — COS a-+- TCOSy, -- = •— sm a H ,

dx dp dq dr ' dy dp

d*où l*on tire pour Téquation de la tangente

df df df

(Ç cos a -♦- *î sin a) --^-»- (Ç cos â -+- >j sin ^)— •-*-...= (xcos a-i-y sin a)-^- h — ^ dp dq dp

df df

Ajoutant aux deux membres les termes — 5— , — ^' T,» •••> ®^ désignant par

P = Ç cos a -H Yi sin a — 5, Q = Ç cos j3+ «7 sin /3 — 5', R= Ç cos y -H V7 sin 7 — 5",

les coordonnées trilinéaires d*un point quelconque (Ç, >}) de la tangente, on trouve

dp dq dr dp dq dr

Mais le second membre se réduit, diaprés la propriété des fonctions homogènes, à mf (p, q, r) qui est nul; donc, Téquation de la tangente cherchée est

w>rf/* ^rf/" ^df ^ dp dq dr

4. Mener la normale à la podaire d*une courbe donnée. R. Les équations du N^ 121

(y 1 — y)dx — {Xi— x) dy = 0, Xidx -f- yjrfy = 0, donnent par differentiation

dyiiix — dxidy=(xi — x) d*y, dx ^dx -^^ dy ^dy =: — yid^y^ d*oii

dx^ dyi

L*équation de la normale à la courbe, lieu du point (a;,, y^)^ devient par la substitution de la valeur de da;^

y — 2yi

cette droite passe par le point ( â> 9 )i ™»ï»eu du rayon mené de l'origine au point M de la courbe primitive.

iK. Trouver la pailnirc de la courbe qui a |iour cquatioii

f»ar rapport à I origine.

R. L'équation de Upodaire est

(0*,)=^ + ((<!,,) "^ =(«.' + ?.') ■^■ K>anslecas delà courle de TexempieS, n = ictni=-i; on a donc

Uans l'hyperbole cquilatère, b^a %/ — I , m ^2 : lu podaïre de celte courbe, par ■-apport à son centre, a donc pour équation

cette courbe est la lemniicale de BemuuUi,