DIFFÉRENTIELLES DE CERTAINES FONCTIONS GÉOMÉTRIQUES

141. Airt (Tune courbe plane. — L'aire comprise entre une courbe donnëe BB', J'bxo des a;, une ordonnée fixe AB, et une ordonnée varisWe I MP, est évidemment une fonction S i^ I i'abscissc x du point H : cUerclions s> I différentielle.

A l'accroissement àx= PP' de la w

I riable x correspond l'aecroissemnit

= MPP'M' de la fonction : au seg-

I mentMPP'M', on peut substituer Icpt-

rallélogramnie MPP'K, parce que leur

rapport a pour limite l'unité (33), Cl

, y étant l'angle des oxcs coordonnnés,

iS ^= y sin y • Ax.

A3! dx

= ysmy,

dS^ysinydx.

Qunnd les axes sont rcclaDgulnires, siny^ {, et l'on a

dS=ydx.

N. B. Dans ces formules, y représente la valeur absolue de l'ordonnëc d^ la courbe, sans quoi l'on devrait regarder comme négatives les aires cïOiTespoadanles aux ordonnées négatives.

14S. Si l'équation de la courbe était donnée en coordonnées polaires, OKI désignerait par S l'aire du secteur compris entre la courbe, un rayon v^ acteur fixe OA, et un rayon vecteur r=OM, correspondant b un angle ^'^riible S. A l'accroissemem AS de l'angle polaire, répond un accroisse- ■*»«Dt AS=MOM' de l'aire S, et l'on ferait voir, par des considérations ^^ mblables à celles du n* 32, que cet élément de surface est compris entre ■^eui secteurs circulaires infiniment petits, de rayons OM et OM', et qui ■* m pour limite de leur rapport l'unité. On peut donc substituer l'aire de l'un d'entr'eux k celle du secteur MOM', et l'on a

is =