AS A

dS ■

ds =

14S. Longueur de l'arc d'une courbe plane. — Soit ABM un arc do ^ourbe quelconque, AM sa corde; on inscrit dans l'arc ABM un polygone 4oiit les côtés sont infiniment petits. Soit ti l'un *ies côtés du polygone, u' sa projection sur la *^orde AM, a l'angle aigu que fait le côl^ u avec AM : on a

«' = u cos a,

ci, en désignant par 1 une somme qui s'étend à tous les côtés du polygone, Su' = 2 (u cos a) = 2» -M (cos a),

«l'où

„ lu'

M (eos a)

2u représente le pcriniëtre du polygone inserit, et 2u' est dgal à la corde AM=c. Lorsque les côtés du polygone tendent vers zéro, son périmètre croit sans cesse sans pouvoir devenir infini ; il tend donc vers une limite déterminée s, Cest cette limite que ton nomme la longueur de l'arc de courbe ABM. D'ailleurs, l'angle a que fait un des côtés du polygone avecla corde, a pour limite Tangle 9 que fait une tangente à la courbe avec cette même corde, en sorte que, si nous désignons par M (eos 9) une moyenne entre les valeurs par lesquelles passe cos 9, lorsqu'on passe du point A au point M, l'équation précédente deviendra h la limite

* = T7-; r ' <>u - = M (cos cp).

M (cos (p) s ^ ^

Cette relation entre la longueur d'un arc et celle de sa corde conduit à une conséquence importante :

Supposons que le point M se rapproche indéfiniment du point A sur la courbe : la tangente, en un point quelconque de l'arc ABM, fait avec la tangente en A un angle tendant vers zéro, si A n'est pas un point singulier ; l'angle 9 qu'elle fait avec la corde AM est donc aussi infiniment petit, donc cos 9 a pour limite l'unité, ainsi que M (cos 9), et l'on a

lim ' =ij

c'est-à-dire que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite Cunité, Ce théorème subsistera même pour un arc de courbe de forme variable^ pourvu que l'angle 9, en un point quelconque de cet arc, tende vers zéro en même temps que la corde.

14141. Considérons maintenant, sur une courbe donnée, un point fixe A, et un point variable M (x, y) : la longueur de l'arc de courbe compris entre ces deux points est une fonction 5 de l'abscisse du point M, et l'on veut trouver sa différentielle, les axes étant supposés rectangulaires.

Soient M' un point infiniment voisin du point M ; x -h Ax, y + Ay ses coordonnées, As l'arc infiniment petit MM'. Sa corde ayant pour expression |/Ax* -♦- Ay*, on aura, d'après le théorème précédent.

Ax Ax V Ax* V </x*

d'où

""V/^"*"S' ds = ]/dx^'i-dy\

ce qui donne la solution de la question.

Remarques, — La dérivée de Tare par rapport à x étant positive, cela suppose que ces quantités varient dans le même sens, ou que les arcs soient cooiptcs dans le sens des x positifs. Si le contraire avait lieu, il faudrait changer le signe du radical.

D*après la définition donnée de la longueur d'un arc de courbe, on pourrait se demander si la limite vers laquelle tend le périmètre du polygone inscrit, ne dépend pas de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro. La formule ci-dessus répond à cette question : la fonction .s, ayant une dérivée déterminée par rapport à x, et s'annulant pour la valeur de x qui répond au point A, est entièrement déterminée (51); et comme nous n'avons fait aucune hypothèse sur la loi d'inscription des côtés du polygone, il s'ensuit que la longueur de l'arc s est la même, quelle que soit cette loi.

Lorsque l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires, on doit exprimer ds en fonction de ces coordonnées. Les équations

X = r cos 9, y e= r sin

donnent successivement

dx = cos rfr — r sin OrfO, dy = sin ôrfr -^ r cos 9rfG,

rfx« -♦- dy^ = rfH -H r««iÔ«,

ds = ^dr^ + r*rfe«, ^ = t/

rfe«

La géométrie conduit facilement au même résultat.

145* Inclinaison de la tangente sur l'axe des x. — L'angle cp, que fait

£ivec l'axe des x positifs la tangente à la courbe en un point M(x, t/), est

donné par la formule

£n dérivant par rapport à x, il vient

V d<p d*y cos' cp dx dx^

La difrc'rcniîi'ilc ilc l'nnglc 9 esl dune

(ftp ^ T- dr.

On en dcdui(, cii iK'ijligcaat ud infiniment petit du second ordre par rapport h Ax,

d'if

Or, si l'on mène les uingentcs h In courlieen M,el en un point infiniment oisin M'(a:M- Ar, y + Aj), l'nngle infiniment petit TNT' compris entre ces tangentes est évidemment égal à la valeur absolue de Aç: il sera donc donné par Ja formule préccdcnle, en négligeant des I termes du second ordre. A cause de cette circonstance, rfip est appelé l'angle de contingence de la courbe proposée.

140. Dans un système de coordonnées polaires, <p est l'inelinnison de la tangente sur l'axe polaire; fi désignant l'angledurayonvecteuravccla tangente à la eourbe(42S),on a évidemment 9 = fl -<- fi , (^9 = dB -»- df£.

Or, l'équation

dfl '8f = '"rf;

lionne, dO étant pris constant,

rffj: '/»■* — rd'r

df^ dr'-

dO ' "*" do

et enfin

. dr* d*r

d(p= rfe.

dr^ rfO«

Tel est l'expression de Tangle de contingence en coordonnées polaires^

1417. L'expression de Acp conduit à une conséquence remarquable. Soit rangle infiniment petit M'MT compris entre la corde MM' et la tangente I IVl; MT perpendiculaire sur cette tangente; on a

en ^