DE LA COURBURE, ET DES DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

148. Si l'on mène les tangentes aux extrémités d'un are convexe MM', l'angle THT', compris entre les directions de ces tangentes prolongées dans le même sens, se nomme la courbure de l'arc JUIH'.

Lorsque l'on prend sur une courbe, à partir d'un point donne M , un »rc de longueur variable MM', le rapport de la courbure de cet arc a sh longueur, savoir

angle THT' arc MM' Variera généralement avec la longueur de l'arc, cl si le point M' se rapproche indéfiniment du pointH, ce rapport de deux infinimcntpetits tendi-a Vers une limite déterminée : c'est cette limite que l'on appelle la courbure de la courbe proposée au point M.

Dansie cercle, la courbure est constanle et égale & l'unilé divisée par le raj'on, car l'angle THT'est ^KAl A l'angle au centre qui répond ii l'arc MM', *^et Bi^ est le produit de l'angle au centre par le |

cHM' ^^ limite, est donc constant et égal k l'inverse du ' '"^yon du cercle. Cest pour cette raison que, afin de'sc figurer plus neltc- ^''ent la courbure en un point M d'une courbe quelconque, courbure géné- •■«lement vaHable avec la position de ce point, on la compare à celle du *^®*^le, en assignant le raj'on R d'un cercle qui aurait en tous ses points *itte courbure égale à celle de la courbe donnée au point M. Ce rayon R ^ appelle le rayon de courbure de la courbe au point donné.

X^our trouver son expression, il suffit d'observer que la courbure de ce „ 1 , ,.■ angle TNT'

'^cpcie étant - > celle de la courbe au point M est égale a «m — ■ „„, ■ >

**Q a donc

,. angle TNT' = '"» „.., •

arc MM

D'autre part, on sait (145) que angle TNT' =dbA9, et Tare MM' n'est autre chose que A« ; donc, il vient

^ ' R As ds

ce qui est une première expression de la courbure. On prendra le signe supérieur ou le signe inférieur de manière à obtenir pour R, qui est une quantité absolue, une expression positive.

140. L'équation de la courbe étant donnée en coordonnées rectangulaires, on a (i45, 144)

donc

(II) R = =b

dx*

Cette formule suppose dx constant : si x et t/ étaient exprimés en fonction d'une môme variable indépendante, on aurait, en transformant l'équation précédente»

(dx« -♦- dt/«)« ^ . dxd'^y — dyd^x

EnGn, si l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires, iL suffira de remplacer, dans la formule (I), dcp et d$ par leurs expressions dans ce système de coordonnées (146, 144), et l'on trouvera