MP
On peut se servir de cette formule pour construire, par approximation, le rayon de courbure d'une courbe donnée graphiquement.
^Sl. A partir du point donné M, on porte sur la normale, dans le sens ^^ la courbe tourne sa concavité, une longueur MZ égale au rayon de courbure; le point Z, ainsi obtenu, est le centre de courbure au point M, ^t le cercle décrit du centre Z avec le rayon MZ est le cercle de courbure : il est visible qu'il est tangent en M à la courbe donnée.
Xe centre de courbure coïncide avec la limite du point de rencontre de ^^ normale au point considéré, et de la normale en un point infiniment '^oisifi. Soient, en effet, MQ, M'Q deux normales infiniment voisines, se coupg^t au point Q : le triangle MQM' nous donne la relation
MQ=sin MM'Q • . ™ ,,, > ^ ^ sinMQM'
l^a direction MM' ayant pour limite celle de la tangente en M, l'angle ^M'Q a pour limite un angle droit ; la corde MM' peut être remplacée par papc MM'; sinMQM' peut être remplacé par l'angle MQM', ou par son égal TNT';. on a donc, quand le point M' se rapproche indéfiniment ^^ point M,
f. m,^ ». arc MM' lim MQ = hm — , ^^,^, = R = MZ.
^ angle TNT'
D'ailleurs, le point de rencontre des normales est évidemment, par ^'^pport au point M, du côté où la courbe tourne sa concavité; donc le ^^ÎQt Q, à la limite, se confond avec le centre de courbure Z.
On voit CD outre facilement que la différcnec des longueurs des nornidles HQ, H'Q, jusqu'à leur point de rencontre, est infiniment petite pir rapport ii MM' : il suffit de projeter le point M' sur HQ, en H<. Le triangle AIMiM' Tiilt voir que HMi est du second ordre; M<Q ne diffère de M'Q que d'une quDnttt<! infiniment petite par rapport k l'angle en Q (3C), qui est du aiéiuc ordre que NH' ; donc, etc.
t&%. Un oppclle cercle oaculateur, en un point M d'une courbe plane, lerercle limite de celui qui passeparcepoinl, et pnrdeux autres points M', M" de la courbe, qui se rapprochent indéfiniment du point H. Nous allons prouver que ce cercle limite existe, c( n'est aolre I que le cercle de courbure.
Elevons, sur les cordes MM', M'M", les perpén-
J diculaircs MS,M"S, se coupant en S : le cercle décrit
I sur M'S comme diamètre passera par les points H,
M". Menons les tangentes MT, M'T', M'T" ii !»
I courbe, en ces points: ces tangentes se couperont
dcux-à-deux en trois points P, Q, R. Soit enfin M'K.
le prolongement de la corde MM', et a l'nrc de cercle
: faut pas confondre avec l'arc de courbe). Nous auront
= ^- 2nnglcMSM" = M'S»ngleKM'M",
WM'M" {qu'il I
d'où
angle KM'H" Mais, d'auti-e pari, en appliquant le théorème du numéro 147, noU^ avons
angle KM'M"= angle KMT' -t- angle T'MM"= angle PM'M + angle T'M'lH" = -anglcRPQ+^angleT'QT"=î{angleRPQ+angleKQP)=langIcTRr"
l'erreur commise étant infiniment petite par rapport à l'angle KM'M'. £<■ outre, l'orc i de rayon fini, et l'arc de courbe MM", ayant mêmes extré' mités, leur rapport a pour limite l'unité. On a donc
arc MM" „ ,. . arc MM"
tint M'S = tim j
= 2 lim
- angle TBT'
angle TRT'
R désignant toujours le rayon de courbure en M.
EnGn, l'angle MM'S, complément de l'angle infiniment petit MSM', ayant pour limite un angle droit, le diamètre M'S se rapproche indéfiniment d'une perpendiculaire en M à la tangente MT, c'est-à-dire de la normale en M. Le cercle MM'M" a donc pour limite un cercle égal au cercle de courbure, tangent comme lui en M à la courbe, et placé du même côté de la tangente : le cercle osculateur coïncide donc avec le cercle de courbure.
On trouverait le même cercle en cherchant la limite du cercle tangent en M à la courbe, et passant par un point infiniment voisin M'.
1M. Pour déterminer les coordonnées (a, |3) du centre de courbure Z, correspondant à un point M (x, y) sur une courbe donnée, on exprimera d'abord que la distance MZ est égale au rayon de courbure, ce qui donnera régaation
£n second lieu, le point Z étant sur la normale à la courbe au point M, ses coordonnées (a, (3) doivent vérifier l'équation
de cette normale, d'où la relation
Bu remplaçant dans l'équation (i), R par son expression connue, on aur<% deux équations qui feront connaître a et (3. Éliminant (x — a) entre ces équations, on trouve d'abord
\dx^)
dy* Supprimant le facteur 1 h- -^ » prenant les racines carrées des deux
rocmbreg^ et observant que y — P doit être désigne contraire à -^j
puisque le centre de courbure Z est, par rapport au point M, du côté où la courbe tourne sa concavité, on aura l'équation
dx*
de laquelle on tire immcdiatemcn (3; a sera eonnu par ]*équation (â). On peut écrire Tcquation précédente sous la forme
qui nous sera utile par la suite.
154. Le point M se déplaçant sur la courbe donnée, le centre de courbure Z se déplace en même temps; y^ a, {3, R sont alors des fonctioQS, généralement continues, de la variable x, définies par les équations (1), (2) et (3), et par Féquation de la courbe. Le lieu du centre de courbure Z est donc une certaine courbe, que l'on nomme la développée de la courbe proposée ; celle-ci prend, réciproquement, le nom de développante.
La développée jouit de propriétés remarquables. Pour les démontrer, différentions les équations (1) et (2) en observant que t/, a, |3, R dépendent de X : la seconde nous donne
ce qui se réduit, par Féquation (o), à
(4) rf« -. rf(3 ^^
De la première nous tirons
ce qui se réduit, par l'équation (2), à
(5) (x — a) rfa H- (t/ - P)dp = - RdR.
Enfin, les équations (2) et (4) combinées donnent
da ^ d(3 rfa«-4-rfp« |/da« -*- d^*
et celte dernière égalité se réduit, par les équations (1) et (5), à
-- RrfR = i R /(/a* -♦- rf(3«, ou bien
(6) dR = =p ]/da} -♦- rf(B^
L'équation (4), mise sous la forme
c/p (lx d(x djj
nous apprend que la tangente en Z à la développée, dont le coeflicient
d& angulaire est-j^» est perpendiculaire à la tangente à la courbe en M, et
comme Z est un point de la normale, celle-ci coïncide avec la tangente à la développée. Donc ta normale à la courbe en un points tbucKe la développée au centre de courbure qui correspond à ce point.
£a second lieu, si Ton nomme v l'arc de la développée, compté à partir d'un point fixe, sa différentielle drr sera, comme on sait, exprimée
par j/da'-H(ip*; si, de plus, on suppose cet arc compté positivement dans ie sens où le rayon R va en croissant, la formule (6) nous donnera
rfR = rfd, (i'où (31), C étant une constante,
Rc=or-t-C.
Si donc R', R" représentent deux rayons de courbure quelconques de la développante, rr' et </' les arcs de développée qui se terminent à ces deux ï^yons respectivement, nous aurons
c'est-à-dire que la longueur d'un arc fini de la développée est égale à la àiff^érence des rayons de courbure de la développante, tangents à «es extrémités.
Cette propriété suppose, bien entendu, que dR et d(T restent de môme signe sur toute l'étendue de l'arc, c'est-à-dire que le rayon de courbure R >^aric toujours dans le même sens entre les limites R' et R".
155. Le théorème précédent conduit à une conséquence importante. Concevons qu'un fil flexible, inextensible et sans épaisseur soit appliqué sur la développée, et s'en détache tangenticllement en un point Z pour >^enir se terminer en M, sur la développante. Imaginons ensuite que l'on détache successivement ce fil de la développée, en le tenant toujours t'indu : l'accroissemeut que prend la portion rectiligne du fil, de la position MZ à une autre quelconque M'Z', est évidemment égal à l'arc ZZ' de ia développée, ou à l'accroissement correspondant du rayon R; M'Z' sera
«lone encore ègnl au rajon de coui-bure qui louche la développée en Z',
tlWi il gui(qiie/e;>om<M, exlrimilé du fil,déerit la développante. Ce mode de généralioii de la développante p«nnel de prouver que Le
cercle de courbure relnlif k un pulnl de celte courbe, traverse géoérale-
iticnt la courbe en môme temps qu'il la Icucbc. Considérons trois rayons de courbure infiniment voisins MZ, H'Z', N'^", I cl joignons M et !M" an point Z', centre de courbure I correspondant au point M'. En vertu du théorème ci- I dessus, on aura, dans les triangles HZZ', BfZ'Z", les I relations
M'Z' = MZ •♦- are ZZ' > MZ -h ZZ'> BCZ', Jl Z' = M"Z'' — arc Z'Z" < M"Z" — Z'Z" < M"Z'. Donc le cercle décrit du centre Z' avec le rayon M'Z', c'est-i-dire le cercle de courbure icltitir an point M', coupe la droite Z'H au-delà du point M, et de la droite Z'M" en deçà du point M"; il traverse donc en H' In courbe proposée.
1S8. Poui' trouver l'équation de la développée d'une courbe donnée I-(T,y)-0, on substituera d'abord dans les équations (2) cl (3) les valeurs de -y et de -~ cnrcly, tiréesdc l'équation de iacoUrbe;ensuite,on éliminera X et y entre ces équations et celle de la courbe : l'équation résultante cnlFC aelfi sera l'cquntion de lu développée.
Réciproquement, si l'équation de la développée
cliiit donnée, et que l'on voulut remonter à celle de la développante, on
tirerait d'abord de cette équation la valeur de ~t et on la porterait dans
l'équation (4). Éliniinant ensuite a et |3 entre cette équation, l'équation (S) et celle de )a développée, on obtiendrait une relnlion entre x, y
et y- j qui serait Véqualiou di/férmtielte de la dévcluppantt.'. Le calcul intégral sera nécessaire pour passer de cette équation à l'cqualion entre x et y seulement : nous verrons par la suite que celte dernière renfermera nécessairement une constante arbitraire, et donnera conséquemment une
infinité tic développantes, pour une mâmc développée. Cceî s'accorde avce les conséquences que l'on déduit du mode de génération de la développante, ik l'aide d'un fil enroule sur ia développée, exposé au numéro précédent.
ISÎ. AppticatiotiB des théorien précédentfs. — I. Coniques en général. L'équalion des coniques, l'origine étant h un foyer F cl l'axe des x dirigé suivant l'axe focal de la courbe, prend la fornie
p désignant le demi -para m être, t le rapport des distances d'un point quelconque au foyer et i la directrice voisine. On tire de celte équation, successive ment,
d'un autre côté, si l'on désigne par N la longueur de la normale, on voit facilement (121) que l'expression générale du rayon de courbure peut s'écrire sous la forme
•'^dx* conséqucmment, on aura, dans le cas actuel,
Dans Us coniques, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demi-paramètre.
Projetons la normale HN sur le rayon vecleur FM, en HG; soient r;=MF, y l'angle FMN compris entre le rayon vecteur et la normale^ Nous Irouvei-ons, par l'équation de ]n courbe,
r :=p+ïr, FN>=x-4-y-p =^t(p+îx) = tr,
FG = FM eos NFG = sr cos MFH = ex, et enfin
MG = N eos y = MF — FG = »■ — £1 = p.
La projection de la normale sur le rayon vecteur mené du foyer est donc constante et égale au demi-paramètre.
On conclut de la relation Ncosj'=p, queR peut être écrit sous la forme
expression qui conduit h la construction suivante du centre de courbui— — dans les coniques : on mène au point M, que l'on considère, le rayon ve tcur et la normale ; par le point N, où celle-ci rencontre Taxe de la courb on lui élève une perpendiculaire NH qui coupe le rayon vecteur en H; perpendiculaire HZ au rayon vecteur coupera la normale au centre courbure Z.
158. II. Parabole. — Cette courbe correspond au cas où es=i dan&. He
problème précédent. On a donc
y* = p«.2px, ^ = P, ?? = -?-!, ^ '^ ' ' dx y dx* y»
d*où
Pour trouver Téquation de la développée, on éliminera x ei y en», '^^■re réquation de la courbe et les équations
(x-«) + (y-(3)? = 0, i+^;(y(3)e! = 0; la dernière donne
la première
Sp V* ^ ^ ûc — 2p
et en substituant dans Téquation de la courbe, il vient
pl 2a-p
3p' pour l'équation de la développée de la parabole. Celte courbe, symétf :»^"e par rapport à l'axe de la parabole, présente un rebroussement de prei»-* "■^''^
espèce au point i a — -?
