Ellipse. On a ici

dy

d*y dx*

Or, si l'on désigne pai* c rexcentricité de l'ellipse, par r et r' les rayons vecteurs menés des foyers de l'ellipse au point (x, y), et par P la distance du centre h la tangente en ce point, on trouve

. / cx\ / cx\ / , c«x»\ , , b*x* oV ****

d'où

Le rayon de courbure est une quatrième proportionnelle à la perpendiculaire du centre sur la tangente, et aux rayons vecteurs menés des foyers au point donné.

Les équations (2) et (5) sont ici

(x«) - (y - S) V^ = 0, 1 -♦- î^- (y - fi) ~- = 0;

d'où

^Zlf y-P x» y^ x« 1 / x^\ y' i / y«\ 6«x a«y a* 6*"^o* 6« V «V 6* a« \ 6»/

On tire de ces égalités, d'abord,

a . X* fc'x* a a* — 6* .

i ^i rH T-î OU - = X',

d'oà, enfin,

et de même

Substituant ces valeurs dans l'équation de l'ellipse, et posant, pour abréger.

on trouvera pour l'équation de la développée

Cutic courbe, symûlrique par rappprt uux nxcs de l'cllipsC) présente qualre rcbroussemetils ilc première espèce qui répondent aux sommeU de I l'ellipse. Les rujuns de courbure de l'ellipse, aux I sommets du grand cl du petit axe, ont respccii-

vemcnl pour valeurs ~> -j- ; leur différence

a' — 6* ab

mesure donc (i!)il la longueur de l'arc correspondant A|B| de la développée, ou le qnai'I du périmètre de cette courbe.

1M, ffypfrbole ■■ — — J7 =™ ' J ealculs analogues, sauf remplaccmerl

de b' par — fi*; l'cxpi'cssion du rayon de rourburc rsl la nii'me; l'équalton de la développée est