Ofdiiïik. — Des équations

X = o (« — sin ûi), y = a{\ — cos w), on déduit Tncilemcnt

<b=9asin — ffu.

On sait aussi que In tuiigcnte MB à la cycloïdc passe par l'cxtrcniilé Bda diamètre AC, en sorte que l'angle 9 qu'elle Tait avec l'axe des x est le complément de l'angle MBC, d'où

jr— M rfw

donc cnrm

ds û»

R = ± -;- = 4a sin -•

Mais la longueur N de la normale HA est égale à 2a sin - ; donc Le myon de courbure de la cycloïde est do^ihle de ta normale.

Cftlc propricU: permet de trouver la développée sans calcul. Construisons le cercle AZff, cgal au eercle générateur AMB et le touchant au point A; le diamèlrc AC'lt'; la droite ffD' parallèle à la base de la cycloïde; et le poinl Ef, projection sur cette parallèle du milieu E de la base. La normale HA prolongée coupe le cercle AZB' en un point Z, et régalltë des triangles MCA , AC'Z montre que AZ = MA et que Z est, par conséquent, le centre de courbure de la cyclotde au point M,

Op, nous avons

OE = a;r, B D" = AE = OE — OA = air — arc AM,

are ffZ = ott — arc AZ = a

eAM = B'D',

il'uù il suit que si le cercle AZB' roule sur la droite B'D' sans glisser, dans le sens D'B', le point de la circonférence qui coïncidait au départ avec D' coïncidera à chaque instant avec le centre de courbure Z, et décrira la développée de la cycloïde. Celle développée n'esl donc, autre chose qu'une cycloïde égale à la proposée, et qui se confondrait avec elle si on lu déplaçait d'une quantité 2a dans le sens des y positifs, et d'une quantité an dans le sens des x positifs ou négatifs : les abscisses qui correspondent aux sommets de l'une, répondent aux rebrousse me nts de l'autre.

Le calcul conduit a la même conséquenec : on tire en effet, par la différentiation, des équations de la cycloïde,

dy sin u d'y I

du i — cos &> dx' et par suite,

Posant

a trouve

«(w + sinw), |3 = -

cos &))*

.a{«'-siii«'}, y^mi-eosc'), équations qui représentent une cycloïde égale k la cycloïde primitive.

A l'origine 0, le rayon de courbure de la cycloïde est nul; au sommet 0, il est égal à 2D£ ou 4a; l'arc OZiy du la développée, ou son égal OSID

de ]a cycloîde primitive, a doDc pour loDgueur (154) deux fols le diamètre du cercle générateur.