Spirale logarithmique. — De l'équation de cette courbe

r = aer^f

on tire

dr rf*r /

•^ = mr, •^^=m*r, R = r|/4-*-m«.

Mais on a déjà vu (chap. XIII, § S, ex. 5) que, dans cette courbe, la

longueur N de la normale polaire est aussi égale à r [/i •+- m* ; le centre de courbure est donc au point de rencontre N de la normale et d'une perpendiculaire au rayon vecteur OM menée par le pôle.

D'après cela, si l'on désigne par r', 0' les coordonnées de ce centre, on aura évidemment

r' = ON = Sn = wr, e'=^-+-0, et en éliminant r et 9 entre ces équations et celle de la courbe,

r'zrsfnae * ;

cette équation^ qui est celle de la développée de la spirale^ représente une spirale égale à la première ^ car on peut, en déplaçant l'axe polaire ^ augmenter l'angle 6' d'une quantité a^ telle que l'on ait

mae * =4.

On conclut de cette propriété que la spirale proposée est elle-même la développée d'une spirale égale, dont le rayon de courbure est MT; d'où il suit qu'un arc quelconque de cette courbe est égal à la différence des longueurs des tangentes polaires qui répondent à ses extrémités.

Exercices.