V. Les équations

c étant donné ; >, /t étant des paramètres arbitraires qui satisfont à la condition À'>e*>/ui*, représentent respectivement une infinité d*cllipses et d*hyperboles qui ont mémos foyers. Par un point quelconque (x, y) passent une ellipse X et une hyperbole /a qui se coupent à angle droit. Exprimer les rayons de courbure R^, R de ces deux courbes eu ce point, en fonction des paramètres > et ju, et prouver que le centre de courbure de Tune est le pôle de sa tangente au point (x, y), par rapport à Tautre. — On a

H. Hayon de courbure et développée de la courbe

— On a d*abord

R==3(axy)5, P = (aa5y)5, R»3P,

ce qui permet de construire facilement le centre de courbure. Ce point est déterminé par les équations

X — « = — Soî'y', y — ^=: — 5*'y', d*uù

a-*-j9=(aj5-4-y') , a — ^ = («5— y s) , d*où réquation de la développée

•. Cissotde : y* (2a — a?) — ac* = 0.

— On a

ol/a5(8a — 3*)'

!•. Lemniscate : r* = a' cos 29.

— On trouvera, N étant la normale polaire,

et pour les coordonnées (a, j3) du centre de courbure

2a« cos«0 2«* sin'O

la développée est

11. Rayon de courbure de la podaii'C de la courbe x^^-^s— .^s^ par rapport à roriginc.

— L'équation de cette podaire, en coordonnées polaires, est

r=-sm2e; on a R= ^-j— ^.

it. Démontrer que si Pon mène d*un point donné (a, p) la droite la plus courte ou la plus longue vers une courbe donnée, cette droite est normale à la courbe, et sa longueur est un maximum ou un minimum, selon que le point (a, ^) est situé, sur cette normale, en deçà ou au-delà du centre de courbure correspondant.

IS. Trouver le rayon de courbure en un point singulier de la courbe F (x, y) = 0.

Conservant les notations des n^* 13i et suivants, on a, pour le rayon de courbure en un point (o, 6),

2(e~a)"'2f(a) d«F , «rf*F . d*F . '

-— i cos" a -♦- 2 -— - sm a COS a -♦- —r- sm* a da' dodo dtr

En un point singulier, H=rO, et Péquation qui détermine les directions des tangentes est f(a) = 0. On trouve alors

Si (a, b) est un point de rebroussement de première espèce, r(a) est nul, R = 0. Si le rebroussement est de seconde espèce, on a, en outre, f, (a) = 0, et les rayons de courbure des deux branches, au point singulier, sont les racines de Péquation