DU CONTACT DES COURBES, ET DES COURBES OSCULATRICES

168. Soient (A) et (B) deux courbes planes, ayant respectivement pour équations, par rapport à un système cPaxes rectangulaires ou obliques,

y = f (x), y] = 9 il).

Soit M (x, y) un point de la courbe (A); si la courbe (B) passe par ce point, pour ^=x on aura Y^=y. A partir du point M, donnons à Tabscissc un accroissement infiniment petijt h , de signe quelconque : la différence des ordonnées y' et /]', qui répondent à Tabscisse x-^-h dans les courbes (A)

ci (B), sera généralement un infiniment petit de tnfime ordre que h, et l'on aura, Adcsignani udc quantité finie diOëreotc de zéro,

lim^^ = k.

On dit nlors que les courbes (A) et (B) se coupent au point H. Hais si la différencey — q' était du second ordre, par rapport à A, les deux courbes auraient au point H un confacltfu^iremter ordre; si elle était ■ du troisième, le contact serait du second ordre; et, I en général, on dît que deux courbe» (A) et (B) ont, tn pointMjuntanlact de Tordre n, lorsque la dif- I férence de leurs ordonnées correspondantes à une I même abscisse, dans le voisinage du point H, ait de I l'ordre n + i, par rapport à l'accroissement de l'abse à partir de ce point.

Tout cela suppose essentiellement que l'axe des y ne soit pas parallèle à la tangente ù l'une des courbes (A) ou (B) au point M, ce qui changerait l'ordre infinitésimal des accroissements de y ou de r).

Ce cas excepte, on voit sans peine que l'ordre du contact ne dépend pas, en réalité, du choix des axes, et que la définition exprime une propriété indépendante de leur direction. Du centre M, avec un rayon infiniment petit, décrivons Varc de cercle M'M". L'arc MM' de ta courbe (A), et l'accroissement correspondant h de l'abscisse, sont de même ordre, car la sécante MM' fait avec ÔY un angle qui ne tend pas vers zéro. La différence ti'ii' des ordonnées des deux courbes est de même ordre que l'arc de cercle M'M", car, dans le triangle M^M", les angles en ft' e! en H" tendent vers des limites finies difféi'enlcs de zéro, et il en est de même de la limite dit rapport de leurs sinus. Donc l'ordre infinitésimal de y* — if par rapport il h, est le même que celui de l'arc M'M" par rapport à MH', il est donc indépendant de la direction des axes.

Si les courbes (A) et (B) ont au point M un contact de l'ordre n, il n'est pas possible qu'une troisième courbe (C), ayant avec l'une d'elles en ec même point un contact d'ordre inférieur à h, passe entre les deux premières. Il faudrait en cfTct pour cela que l'ordonnée de la courbe (C) différât moins de celle de la courbe (A), dans te voisinage du point M, que l'ordonnée de la courbe (B) : or, cette seconde difTércncc, étant un infiniment petit d'ordre plus élevé que la première, finit toujours (SS) par avoir une valeur absolue plus petite.

164. Pour déterminer les conditions analytiques du contact d*un certain ordre, entre deux courbes qui ont un point (x, y) commun, on observera que la différence y' — v)' des ordonnées des courbes (A) et (B) est une fonction de Tabscisse qui, au point M, c'est-à-dire pour Ê=x, s'annule; qui, en outre, comme fonction de a: -*- A, peut être développée au moyen de la formule de Taylor, les dérivées étant supposées satisfaire aux conditions de continuité dans le voisinage du point M. On aura ainsi

^ ^ \dx dy i'2\dx^ diy 4.2..»\dx- dl-J

/^y d^\ \dx«+* W^'J.

et l'on voit d'abord que y — yj' est en général du premier ordre, comme nous l'avons dit. Pour que y — r! soit de l'ordre w -*- i par rapport à A, il faut et il suffit que les coefficients des diverses puissances de h dans le second membre, jusqu'à l'ordre n inclusivement, soient nuls, et que le coefficient de A*'+* ne soit pas infiniment petit; en d'autres termes, il faut qtJe l'on ait, pour ? = x, */) = !/, les relations

dr, dy d^n d*.y d''Yi d'^y rf**+'/3 ^ d'*^^y

d|~dx' d^^d^''"' d^~dx~-' dp*"<dx^**

Ainsi, pour que deux courbes (A) et (B) qui ont un point M commun

^ic^^t, en ce point, un contact de l'ordre n, il est nécessaire et suffisant que *c« eiérivées de même ordre de l'ordonnée par rapport à l'abcisse, tirées des ^^^€xtions de ces courbes^ soient égales deux à deux jusqu'à l'ordre n ^^^^usivement, pour la valeur de x qui répond au point commun^ et que les dérivées de l'ordre n -*- i soient inégales.

^ 65. Concevons maintenant que l'on donne l'équation de la courbe (A),

c^ Vin point M(x, y) sur cette courbe; que l'équation de la courbe (B) soit

^^ïinée seulement de forme, et renferme un certain nombre de coefficients

^^ paramètres indéterminés. On pourra se proposer de déterminer ces

P^t^amètres de manière à ce que la courbe (B) passe par le point M, et ait

^^ ce point un contact de l'ordre le plus élevé possible avec la courbe A :

^*^c est alors, parmi les courbes de son espèce, celle que l'on nomme

'^'^sculatrice de la courbe (A).

I^oup satisfaire à cette condition, il faudra, d'après la théorie ci-dessus, ^^primer que l'ordonnée et ses dérivées successives par rapport à l'abscisse,

jusqu'à Tordre voulu, ont les mêmes valeurs dans la courbe (A) et la courbe (B), pour Tabscissc x du point M. On obtiendra ainsi n + i équations, si Tordre du contact est n; il suffira donc que Téquation de la courbe (B) renferme n + i paramètres indëlerminës pour que Ton puisse satisfaire à CCS n -t- 1 équations. Et réciproquement, si Téquation de la courbe (B) renferme n + i paramètres arbitraires, les conditions du contact de Tordre n avec la courbe (A) en un point donné suffiront pour déterminer complètement ces n + i paramètres, et par suite la courbe (B) : la courbe osculatrice de l'espèce (B) aura donc, an généra], un contact de Tordre n avec une courbe donnée.

166. Appliquons cette méthode h quelques exemples. I. Droite osculatrice. L'équation de la ligne droite

n = al + b

renferme deux paramètres a et 6 ; la droite pourra donc avoir un contact du premier ordre avec une courbe (A) donnée, en un point (x, y), et ii faudra pour cela satisfaire aux équations

dri du -

Donc

2^ s=: ax + 6, o = -p >

et en éliminant a et 6 entre ces équations et celle de la droite, on tombe sur Téquation

qui est celle de la tangente à la courbe (A) au point donné. La tangente n'est donc autre chose qu'une droite osculatrice : elle a généralement un contact du premier ordre avec la courbe, mais l'ordre du contact peut s'élever en certains points particuliers. Ainsi, comme Téquation de la droite donne d*ri=0, les points de la courbe (A) qui satisferont à la condition d*ij = 0, donneront lieu à un contact du second ordre entre la courbe et sa tangente : on sait que les points d'inflexion sont dans ce cas.

n. Cercle oscillateur. — L'équation du cercle en coordonnées rectangulaires

renferme trois paramètres «, Çi, R, ce qui permet uu contact du second

ordre. DifTérentions deux fois de suite cette équation en prenant Ç pour variable indépendante, et substituons, dans les trois équations ainsi obtenues, à ?, y), -^? -^5 respectivement les coordonnées x, y du point

donné, el les dérivées -p» -j-^ tirées des équations de la courbe (A);

nous trouverons, pour déterminer les paramètres a, |3, R, les équations

IMais ces équations sont précisément (155) celles qui déterminent le centre et Je rayon de courbure de la courbe (A) au point (x, y): le cercle de courbt^re est donc celui qui a le contact de C ordre le plus élevé possible, avec une cozerbe donnée, en un point donné.

Ce contact étant du second ordre, la différence y' — y;' est du troisième ordre par rapport à A, et change conséquemment de signe avec A ; il en résulte cette propriété déjà connue du cercle osculateur, qu'il traverse la courbe au point même où il la touche.

m. Paraboles osculatrices. — La parabole de degré n, dont l'équation

y) = a -♦- 6Ç -*- c$' -♦- ••• -♦- AÇ*

re ■referme n + 1 paramètres indéterminés o, 6,..., pourra offrir un contact d'oj'dre n avec une courbe donnée (A). La détermination des paramètres se fait ici très simplement, en développant l'ordonnée yi suivant les puissartces de Ç — x par la formule de Taylor, et observant que les dérivées <^^ >? par rapport h Ç, d'ordre supérieur à n, sont toutes nulles. On a donc

.y , dyj (^ — xY d^Yi (l — xY d«y]

^^^t*, pour Ç = X, on doit avoir yj = y. Si l'on remplace ensuite les dérivées "^ ïî, qui se rapportent à l'hypothèse ?== X, par leurs valeurs (164), on *^ra pour l'équation de la parabole osciilatrice

n y-i-vç *^dx 12 dx« 12..» dx-

^^ les paramètres a, 6,.>-9 se trouveront ainsi déterminés.

167. Lsi théorie générale du contact des courbes suppose la continuité des dérivées qui figurent dans le développement de y' — j^' : elle cesserait d'être applicable aux points des courbes (A) et (B) où celte continuité n*existerait pas. L*ordrc du contact pourrait alors n'être plus un nombre entier. Par exemple, si l'on considère la courbe (chap. XV, § 4, ex. 6) qui a pour équation

au point (x = 0, y = a), on trouvera

dx "' dx« ■" ^

et l'on verra sans peine que la courbe a, en ce point, avec sa tangente tî = a,

un contact de l'ordre - • Le rayon de courbure est nul.

Exercices.

1. Étant données une courbe, et sa tangente en un point A, on déplace chaque point M de la courbe, parallèlement à cette tangente, de manière que la droite qui joint le point déplacé M' à la projection F du point M sur la tangente fasse avec MP un angle constant a. Montrer que la courbe transformée a un contact du second ordre, au point A, avec la courbe primitive. Que faut-il pour que le contact soit du troisième ordre?

R. Soient M(x, y); M'(a?', ^') par rapporta la tangente et à la normale en M. On a

y'=:y- aj' = x4-y tg à; le calcul de-— > — ^ au point A, conduit au théorème

(US uSu

énoncé ; le contact est du 3"e ordre si d*y = 0.

t. Si Ton détermine les n-t-i paramètres d*une courbe (B) de telle manière que la courbe ait n -h 1 points infiniment voisins communs avec une courbe (A), la courbe (B), à la limite, sera osculatrice de la courbe (A).

S. Lorsque deux courbes ont^en un point, un contact de Tordre n, leurs développées premières ont un contact de Tordre n — 1, leurs développées secondes un contact de Tordre n — 2, et ainsi de suite.

4. On prend sur une courbe, à partir d*un point M, un arc infiniment petit MM' =«; soient c la corde de cet arc, R le rayon de courbure de la courbe au point M, R' celui de sa développée ; ^, â les angles formes avec la tangente en M par la tangente en M' et la corde MM' ; T le point de concours des deux tangentes. On a

en négligeant tes infiniment petits d*ordre supérieur.

6. Lorsque deux courbes ont, en un point M, un contact du second ordre, si Ton prend, à partir de ce point, des arcs infiniment petits égaux sur les deux courbes, la

droite qui joint leurs extrémités a pour projection sur la normale en M, i*infiniment petit du troisième ordre

et pour projection sur la tangente, l'infinimcnt petit du quatrième ordre

R', R| étant les rayons de courbure des développées des deux courbes données.