Une équation de la forme
dans laquelle a désigne un paramètre variable, représente une infinité de courbes, dont chacune correspond à une valeur dcterininée de ce paramètre. A deux valeurs infiniment voisines a, a-{-h du paramètre, répondent deux courbes (G), (C), qui se coupent généralement en un ou plusieurs points. Soit Mi Tun de ces points d'intersection : h tendant vers zéro, la courbe (C) tend à^e confondre avec (C), et le point Mi s'approche indéfiniment, sur la courbe (G), d'une position limite M. Le lieu de ces points M, considérés sur toutes les courbes du système (1), se nomme Cenveloppe de CCS courbes.
Pour en trouver l'équation, soient (xi, y^) les coordonnées du point Mi; ce point appartenant h la fois aux courbes (G) et (G'), ses coordonnées vérifieront les équations
F(Xi, yi, a) = 0, F(jri, yi, a + A) = ,
et par suite celle-ci
F(^ij yi» a-*-A) — F(xi, yi, a) = 0; ou encore, si l'on applique une formule connue (88, IV), et si l'on désigne par F'ot la dérivée partielle de F par rapport h a,
F'a(xi,yi,a + eA) = 0, étant compris entre et i ^
Lorsque h tend vers zéro, Xi et j/i ont respectivement pour limites les coordonnées x ci y du point M; Oh a pour limite zéro; x et y satisfont donc aux équations
Ces équations conviennent aux points d'intersection de la courbe (G) par la courbe inflniment voisine, pris à la limite. Si donc on élimine a entre ces deux équations, on aura entre les coordonnées (x, y) du point M une équation indépendante de toute valeur particulière du paramètre a, et qui sera Téquation du lieu de ce point.
L'équation de l'enveloppe s'obtient donc par Vélimination du paramètre
a, entre l'équation F (x, y, or) =:^ des courbes du système, et sa dérivée
rfF
— =0 par rapport à ce paramètre.
169. Cotte règle suppose que la fonction F (x, y, a) ne soit pas une fonction à détermination multiple (57, 2*'), sans quoi il pourrait se faire que le point d*intersection Mi correspondit, sur la courbe (C), à Tune des formes de la fonction; sur la courbe (C), à une autre; et dans ce cas il est clair que la formule du N^" 88 ne serait plus applicable. Ainsi, Tenveloppe d'un cercle de rayon donné a, dont le centre parcourt l'axe des y, résulte de l'élimination de a entre les deux équations
dF
ce qui donne
x* — a* = ou X = db o ;
elle se compose de deux droites parallèles, ce qui d'ailleurs était évident. Mais si l'équation du cercle variable était mise sous la forme
y = a dr j/a* — x',
la règle ci-dessus conduirait à l'équation absurde 1 == 0. La raison en est que les points d'intersection de deux cercles infiniment voisins répondent, sur l'un, au signe supérieur, et sur l'autre, au signe inférieur du radical : en égalant les valeurs de y, on a
2 |/tt« — xi« = A, et à la limite h = 0, on retrouve l'équation x' — o* = 0.
170. L'enveloppe du système de courbes (1) touche chacune des enveloppées (C), au point d'intersection limite M.
Concevons que Ton ait tire, de Féquation F'a = 0, la valeur de a,
et qu'on la reporte dans Téquation (1) : on aura l'équation de la courbe enveloppe
dy et 1 on trouvera le-^ de cette courbe en différentiant totalement Téqua-
dx
tion précédente, d'où
dx dydx d^\dx dydxj
Mais — -p'est autre chose que -7- dans lequel on remplacerait a par
cp(ar, 2/), et est, par conséquent, nul identiquement. On a donc, pour déter- ^"lîïier le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe, Féquation
rfF dF dy ^ dx dydx
^He ne diffère de celle qui détermine le •— d'une enveloppée (C), qui
ox
^oi»(>espond à une valeur déterminée du paramètre a, que par la substitu- ^'^n de 9(x, y) à ce paramètre. Or, au point M commun à l'enveloppe et ^ <îetle enveloppée, on a précisément 9(0?, y) = a, puisque ce point satis- ^^^t, aux équations (2). Donc, pour ce point en particulier, la dérivée de ^ ^i^donnée a la même valeur dans les deux courbes; les tangentes à l'enveloppe et aTeriveloppée coïncident donc.
A^oici une application de cette propriété : on sait que deux normales ^'^fîfiiment voisines, dans une courbe donnée, se coupent en un point qui Pour limite le centre de courbure (151). Il suit de là que le lieu des centres de courbure, c'est-à-dire la développée de la courbe donnée, n'est ^^tre chose que l'enveloppe des normales à cette courbe : elle touche ^^Oc chacune de celles-ci, au centre de courbure correspondant, ce qui ^ accorde avec une propriété démontrée.
17 t. Le problème des courbes enveloppes se présente fréquemment ^Us une forme un peu différente.
I^'équation des courbes du système
renferme deux paramètres arbitraires a et {3, entre lesquels on donne u
relation
(4) cp(a,l3)=0.
Le problème est, au fond, le mcme, puisque Fèlimination du paramèlr^-^e (3 nous ramènerait au premier cas; mais il vaut mieux conserver ^ dan^ s Tcquation (3), en Ty considérant comme une fonction de a définie p{^ jc Féqualion (4); l'application de la règle du n° 168 conduit alors au systènm < d'équations
rfF ^^^r. îf? ^^0
d& Eliminant -f 9 on obtient l'égalité cia
^^^ doL d^ (/(3 c/a "" '
qui remplace Ja seconde des équations (2), et à laquelle doivent satisfaisre les coordonnées (a:, y) du point qui appartient à Tenveloppc. Elimina vnt ensuite a et P entre les équations (5), (4) et (5), on tombera sur Féqui sition de l'enveloppe cherchée.
Soit, comme exemple, à trouver l'enveloppe de la courbe
les paramètres <x, P étant liés par l'équation
où a et 6 sont des constantes données. On aura, en appliquant la méthc^ ^e ci-dessus,
0" (S) (SfO
er (trcr-(0'
De là on tire facilement
($)"'-($)'- (ir-d)'
et par l'élimination des paramètres a, {3,
mp mp
pour l'équation de la courbe enveloppe.
Si m = 1 , la ligne mobile a pour équation
c'est une droite qui eoupe les axes OX, OY aux distanees a et [3, respectivement, de Forigine. Soient, en outre, 6 = o, p = 2; l'équation
nous apprend que la portion de cette droite comprise entre les axes rectangulaires a une longueur constante a. L'enveloppe de cette droite mobile sera la courbe
on reconnait facilement que c'est une èpicycloïde engendrée par un point
de la circonférence d'un cercle de rayon r > roulant intérieurement sur
un cercle de rayon o.
Dans le cas où m = 2, p=2, la courbe variable est une ellipse dont les demi-axes a, (3 satisfont à la condition
a} fi« ,
l'enveloppe se compose de quatre droites comprises dans l'équation
db-dif = 1.
179. L'équation d'une droite mobile renferme deux paramètres variables a et P : une équation entre ces paramètres déterminera donc, d'après ce qui précède, la courbe qui est l'enveloppe des positions successives de la droite. Toute courbe pouvant être considérée comme l'enveloppe de ses tangentes, sera, dans ce système de coordonnées tangentielles^ représentée par une équation entre les paramètres a, j3 d'une tangente quelconque.
Exemple : La droite mobile ayant pour équation
ax-4-(3y-i-1 =0, avec la relation
A(S« -^ Ba|3 + Ca* -+- DP -4- Ea -V- F = 0,
on sera conduit aux égalités
2Ca-+-Bp-i-E "" 2A(3 H- Ba -^ D "" D(3 + Ea H- 2F ■
Les valeurs de a et p, déduites de ces équations, étant du premier degré en X et y, l'enveloppe sera une courbe du second ordre.
1 . Deux points A et B étant donnés respectivement sur deux axes OX et OY, une droite mobile coupe ces axes en deux points M et N qui satisfont à la relation
