AM : MO = ON : NB
Trouver l'enveloppe de cette droite.
R. Soient 0A = a, 0B = 6, 0M=:«, 0N = ^. On a
cas particulier du problème N<> 171. L'enveloppe est la parabole
(S)Hy"-
t. Un angle constant A tourne autour de son sommet flxe A; ses côtés coupent une droite donnée PQ en deux points B et C. Quelle est Penveloppe du cercle circonscrit au triangle ÂBC.
R. Soit a la perpendiculaire du point A sur la droite PQ. Cette perpendiculaire étant prise pour axe des x, Paxe des y étant la parallèle à PQ menée par le point A, Tenveloppe a pour équation
elle se compose du point A et d'un cercle dont le centre et le rayon sont faciles à trouver. (Ce problème peut se résoudre très-simplement par la géométrie). S. Enveloppe de la courbe
la relation entre les paramètres étant
R. On trouve pour Téquation de la courbe enveloppe
, (wp)v (mq)^ g^Pytnnq -- Il IJ2 — LJLi .
{np -i- mqy*P-^^
Si p = q, c'est une hyperbole (ou un système de deux hyperboles) dont les as3rmptotes coïncident avec les axes coordonnés.
4. Si, dans le problème du N» 17i, on désigne respectivement par p et R les rayons de courbure d'une enveloppée et de l'enveloppe, au point où elles se touchent, on a la relation
ym-^p J ft. L'enveloppe de la droite mobile y = aa;-t-p étant représentée par une équation
entre a et ^, le rayon de courbure de celte courbe a pour expression
dor
e. La caustique par réflexion d*une courbe (G) par rapport à un point A(') est la développée de la podaire, par rapport à ce même point, de la courbe qu*on obtient en prolongeant chaque rayon ÂM mené du point  à la courbe (G), d^une longueur égale à lui-même. Déduire de là cette formule :
/ r R cos t
9^ étant le rayon incident AM, / la longueur du rayon réfléchi terminé au point où il Couche son enveloppe, R le rayon de courbure de la courbe (G), t Pangle d^incidcnce.
9. Trouver la caustique par réflexion du cercle de rayon a, le point rayonnant A étant sur la circonférence.
Rapportée à Taxe polaire OA, et à un pôle Aj situé sur cet axe à une distance du centre égale au tiers du rayon, Péquation de la caustique est
2a r = — (1 -*- cos 0) (cardioïde).
