TANGENTES ET PLANS NORMAUX AUX COURBES A DOUBLE COURBURE
178. Toute courbe qui n'a pas tous ses points dans un même plan est dite gauche ou à double courbure.
Une telle courbe est représentée par deux équations entre les trois coordonnées ar, y, z de l'un quelconque de ses points» en sorte que deux variables sont fonctions de la troisième. Mais, pour introduire plus de symétrie dans les formules, il vaut mieux considérer x^ y, z comme fonctions d'une même variable indépendante t, choisie arbitrairement : c'est la différentielle dt de cette variable qui sera regardée comme constante. Lorsque, dans un cas donnée il y aura utilité à prendre pour variable indépendante l'une des coordonnées, x par exemple, il suffira de supposer que (se réduise à x et que dx soit constant.
(^) On donne ce nom à Penveloppe des rayons lumineux émanés du point A et réfléchis sur la courbe (C) suivant la loi régulière.
174. La tangente, en un point M d'une courbe k double courbure, est
la limite de la sécante qui joint ce point k un point infiniment voisin M'.
Soient (x, y, z), (x -*- Ax, y -♦- Ay, z -*- Ax) les coordonnées de ces deux
points respectivement. Les projections de la sécante sur les plans XZ, YZ
„ Ax At/ dx
auront pour coefficients angulaires respectifs r— 5 t^; leurs limites -7- *
Az Az dz
du ^
— seront les coemcients angulaires de la tangente. Les équations de
dz
celle-ci, en désignant par ^, y?, ç ses coordonnées courantes, seront donc
dx ^ du
les équations de la courbe fourniront les valeurs des dérivées de x et de y, en fonctions de x, y, z.
Les équations de la tangente peuvent s'écrire plus élégamment comme il suit :
^ ' dx dy dz
Remarque. L'équation
est celle de la projection de la tangente sur le plan XZ.Or,la projection du
dx point Msur ce plan a même x, même z, et par suite même — que ce point :
l'équation ci-dessus représente donc aussi la tangente à la projection de la courbe sur le plan XZ. Et comme ce plan est un plan quelconque, on en conclut que si l'on projette sur un même plan une courbe et sa tangente en un point M, la projection de la tangente touchera la projection de la courbe^ au point M projeté.
175. Soient a, p, 7 les cosinus directeurs de la tangente, c'est-à-dire les cosinus des angles qu'elle fait avec les directions des axes positifs^ supposés rectangulaires. Une droite qui passe par un point (x, y, z), et dont les cosinus directeurs sont a, p, 7, a pour équations
Comparées aux équations (I) de la tangente, celles-ci donnent
^ ^ dx dy dz (/rfx« -h dy^ + dz«
A partir du point de contact, on peut considérer sur la tangente deux dir^ections opposées, caractérisées par des cosinus directeurs deux à deux égaux et de signes contraires : le signe supérieur, dans les équations (2), se rapporte à l'une de ces directions; le signe inférieur, à l'autre.
'M7B. La longueur d'un arc de courbe à double courbure est, comme dar»s une courbe plane, la limite du périmètre d'un polygone infinitésimal inscrit dans la courbe, et ayant mêmes extrémités que cet arc. Les raisonnements et les formules du N° 145 s'appliquent, sans changement, à une courbe gauche; on en conclut de même que le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite l'unité.
Si donc s désigne la longueur de l'arc d'une courbe, partant d'un point fixe A et terminé à un point variable M (x, y, z) sur cette courbe. As sera l'arc infiniment petit MM', dont l'extrémité M' a pour coordonnées X -+- Ax, y -¥- Ay, z -*- Az. La corde MM' de cet arc ayant pour longueur
I/Ax* -h Ay' -I- As', nous aurons donc
dt At V \A'/ \A«/ \^0 V ^^ * ^^
d'où
ds = j/rfx* -+- rfy* -+- rfjz*.
Cette expression de la différentielle de l'arc d'une courbe, rapportée ^ des axes coordonnés rectangulaires, permet d'écrire sous une autre forme les cosinus directeurs de la tangente. Les équations (2), où nous Pi'endrons le signe supérieur seul, nous donnent évidemment
rfx ^ dy dz
ds ^ rfs ' ' rfs
*. rfx Ax
Le signe de a est celui de -7-5 ou de —5 ou encore, si l'on prend As
positif, celui de Ax. Mais la direction MM' fait un angle aigu ou obtus avec ^'^xe des x positifs, selon que Ax est positif ou négatif: le cosinus de cet '^ï^gle sera donc de même signe que a. D'où il résulte que les formules V^écédentes se rapportent à la direction de la tangente, menée dans le sens ^ tare s va en augmentant.
HT. Le plan normal, en un point d'une courbe à double courbure, est le plan mené par ce point perpendiculairement à la tangente.
La droite qui joint un point quelconque (^, yi, ç) de ce plan au point donne (x, y, z), a ses cosinus directeurs proportionnels à ^— a;, /i — y, ç — z; elle fait*^un angle droit avec la tangente dont les cosinus directeurs sont proportionnels à c/x, dy^ dz, La relation entre les cosinus directeurs de deux droites rectangulaires nous donne
(5) (Ç — x)rfx+(y)— y)c/y4-($-z)rfz =
pour réquation du plan normal. Les équations de la courbe, différentiées, fourniront deux équations entre dx, rfy, dz, à Taide desquelles on éliminera ces différentielles de Téquation (3).
Tout plan mené par la tangente se nomme un plan tangent à la courbe; toute droite située dans le plan normal, et passant par le point de contact, se nomme une normale k la courbe.
Exercices.
1 . Vhélice est la courbe qui coupe sous un angle constant t toutes les génératrices d*un cylindre circulaire droit. Soit a le rayon du cylindre, dont Taxe est pris pour axe des Z'y Paxe des y étant mené par un point de Phélice, et les axes étant d'ailleurs rectangulaires, on trouve pour les équations de Phélice, en posant m^acotr,
- = sin - > a m
-rrrCOS ->
Les équations de la tangente et du plan normal sont
l — x ri — yt;--z y — X m '
ly — *!» -♦- (ç — 2;) m = 0.
Différentielle de Tare :
dz, m
da =z — l/V-ï-w? =
dz
