Soit
l'équation d'une surface, et M (x, y, z) un point pris sur cette surface. Par ce point, on peut faire passer une infinité de courbes sur la surface donnée: soit (G) Tune de ces courbes. Sa tangente au point M a pour équations (174)
l — x ^ Yi'-y ^ ^ — z dx dy dz
les difTérenticlles rfar, rfy, dz appartenant à la courbe (C). Or, cette courbe étant située sur la surface, ses coordonnées vérifient l'équation z = f (flr,y) de celle-ci, et par suite, leurs différentielles dx^ dy, dz doivent satisfaire I réquation que l'on obtient en différentiant l'équation de la surface, savoir
dz = pdx -+■ qdy^
dz dz , . ^
p et qr désignant les dérivées partielles —j — tirées de l'équation (i)> ^, et
Substituons à dx, dy, dz dans cette équation, les quantités Ç — x, yj — î^i ç — z qui leur sont proportionnelles dans les équations de la tangente * il vient
(2) ç — 5;==p($ — x)H-5r(yi — y\
et cette équation ayant lieu pour un point quelconque (^, y;, ç) de la ta gente en M à une courbe quelconque (C) tracée sur la surface, représe le lieu géométrique de toutes ces tangentes. Mais l'équation (2) est premier degré en (^, vî, ç) : donc, le lieu des tangentes menées, m point d'une surface^ à toutes les courbes que l'on peut faire passer par point j est un plan^ qui se nomme le plan tangent à la surface en ce poif^^ Il est représenté par l'équation (2).
Si l'équation de la surface était mise sous la forme
on verrait de même que les différentielles dx, dy, dz des coordonnées la courbe (C) vérifient l'équation
dF , dF , dF
-— dx -4- -r- dy -4- -T- dz = 0, dx dy ^ dz
et en leur substituant les quantités proportionnelles dans les équations de la tangente, on trouverait
pour réquation du plan tangent au point (or, y, z).
179. L'existenee du plan tangent repose essentiellement, on le voit, sur la propriété qu'ont les différentielles dx, c/y, dz d'une courbe quelconque (C) tracée sur la surface, de satisfaire à une équation homogène du premier degré, dont les coefficients D,F, DyF, DsF ne dépendent pas de la détermination particulière de cette courbe. Cette propriété, qui a lieu généralement pour un point quelconque de la surface, peut cesser d'être vraie en certains points particuliers : c'est ce qui arrivera si, au point donné (x, y, z), les dérivées partielles D.F, Di^F, D^F sont nulles simultanément. Dans ce cas, on différentiera une seconde fois l'équation de la surface eu observant que les coefficients de d^x, d^y, d^z sont nuls au point considéré ; on remplacera encore dx, dy^ dz par les quantités proportionnelles $ — X, // — t/, ç— z tirées des équations de la tangente à la courbe (G), et l'équation du lieu des tangentes à la surface au point (x, y, z) sera
,r X, d'f / x*rf*F , x*^*F ../ X, X d'F
rfx' ^ dy* dz* ^^ ^ ' dydz
Elle représente un cône du second degré qui a pour sommet le point
180. La normale en un point (x, y, z) d'une surface, est la perpendiculaire élevée en ce point sur le plan tangent.
Les axes coordonnés étant supposés rectangulaires, et les angles directeurs de la normale étant désignés respectivement par (A, /ji, y), les équations de cette droite seront, comme on sait,
l — x ^ •/] — y ^ S — g ^ cos 1 cos p. cos y
Mais l'équation du plan tangent, prise sous la forme (2), nous fournit
les relations suivantes pour exprimer que la direction (X, fi, v) est perpendiculaire k ce plan :
=--Ilf =± .
p 9 -* i/ïTpT;^*
Les (équations de la normale seront donc
S — ic ^ l — y ^ g — g p " q ^— 1 ■
De même, si l'équation de la surface était donnée SOUB la forme (5), on aurait
COS X COS fi cos n I
^ % ''^ Vw*U;-^U>)
pour exprimer les cosinus directeurs de la normale, et les équations de la normale prendraient la forme.
dF ^~^" rfF
dx dj/ lii
Le double signe, dont sont affectés les cosinus directeurs de la normale,
se rapporte aux deux directions Opposées que l'on peut considérer sur
celte droite, à partir du point [x, y, z) où elle peree la surface. En général,
la surface F(x, y, z] = sépare l'espace en deux régions, dont l'une
exlérieiire qui correspond à F (x, y, z) > 0, l'autre intérieure pour laquelle
F {x, y, z) <| 0. Le signe supérieur se rapporte h la normale menée vers
la région extérieure.
181. Lorsque la surface est de révolution, soient AMB le mérirftm, CMD le parallèle qui passent par le point M oii l'on veut mener un plan tangent; OM le rayon du parallèle qui aboutit u point M. La tangente HT au parallèle, étant perpendicn- I laire, ii la fois, k l'axe de révolution et au rayon OM du cercle parallèle, est perpendiculaire au plan du méridien I AMB, qui passe par ces deux droites. Le plan tangent en H doit contenir la tangente MT; il est donc perpendiculaire au plan du méridien, et la normale MN à ta surface est dans ce plan, en aorte qu'elle va couper Caxe de révolution. De plus, MN est en même temps
normale au mëridieD AHB; quand celui-ci, tournant autour de l'axe, engendre la surface proposée, et cntraine avec lui sa normale MN, cette droite MN oc cesse pas d'être dans le plan du méridien et d'être normale k celui-ci ; elle coïncidera donc dans toutes ses positions avec la normale à la surrace, et comme son point de reocontre N avec l'axe est Invariable, on voit que les normales à une surface de révolution, menées aux différents points situés sur un même parallèle, vont couper Caxe de révolution en un même point, et sont également inclinées sur cet axe.
19S. Plan tangent à une surface réglée. — On nomme surface réglée toute surracc engendrée par une droite, assujettie à se mouvoir suivant (les conditions déterminées. Celle droite, considérée dans une quelconque de ses positions, est la génératrice. Les cônes, les cylindres, l'iiyperboloïdc à une nappe sont des surfaces réglées.
Toute droite étant sa propre tangente, le plan tangent en un point M d'une surface réglée contient la génératrice qui passe par ce point. Mais i! existe, sous le rapport du plan tangent, une diffi5rence essentielle entre les diverses surfaces réglées, et qui les partage en deux classes.
Soient (Gj la génératrice qui passe par le point M, (G'J une génératrice infiniment vol- 1 sine, DD' la perpendiculaire qui mesure la plus courte distance rt de ces deux droites, et DKuneparalfôleà (G'). Menons, dans le plar GDK, HP perpendiculaire k (G), et dans le plan G'UK, t>P' égal cl parallèle à DD'; P'M sera perpendiculaire h (G), et l'angle P'MP mesurera l'inclinaison du plan DHP* sur le plan GDK. Or, les triangles rectangles NPP', PMD donnent
tgp-MP^^^^', MP = MDtgMDP = MDlgE.
e désignant l'angle GDK de deux généralriees infiniment voisines ; d'où
Le plan GUK, mené par la génératrice (G) parallèlement à la génératrice infiniment voisine (G), tend vers une position limite que nous nommerons le plan asgmptotique, et le point D, pied de la perpendiculaire DD', tend vers une position limile 0, que nous appellerons le point central de la génératrice (G). Le plao DHP* est évidemment, à la limite, le plan
langent à la surface en M; l'angle PT^fP tend donc vers Tangle a, inclinaison du plan tangent en M sur le plan asymptotique, et si nous désignons par V la distance du point de contact M au point central 0, Téquation précédente nous donnera
tga
Deux cas peuvent se présenter : i" Si, pour une génératrice quelconque de la surface, le rapport y) : e tend vers une limite finie t, nous aurons
et le facteur t étant indépendant de la position du point M sur la génératrice (G), a variera en même temps que v. Les plans tangents aux différents points d'une même génératrice seront donc distincts les uns des autres; la tangente de leur inclinaison sur le plan asymptotique variera en raison inverse de la distance du point de contact au point central.
La surface est dite une sur face gauche. Exemple : le paraboloïde hyperbolique.
Au point 0, t; = 0, tg a = 00 , le plan tangent est à angle droit sur le plan asymptotique. Lorsque v croît indéfiniment, tg a tend vers zéro, le plan tangent tend à se confondre avec le plan asymptotique.
2° Si, quelle que soit la génératrice (G), le rapport — a pour limite zéro,
tg a est nul et a aussi, quel que soit v : le plan tangent est donc le même pour tous les points d'une même génératrice, et coïncide avec le plan asymptotique relatif à cette génératrice. La surface est dite alors de'veloppable.
Dans une surface conique où toutes les génératrices se coupent en un
même point, on a constamment 7r=0 et e> 0, donc - est nul : les sur-
faces coniques sont donc des surfaces développables; le plan tangent touche la surface tout le long de la génératrice, et n'est autre chose que la limite du plan passant par deux génératrices infiniment voisines. Dans les surfaces cylindriques, l'angle e est nul et la distance yj ne l'est
pas ; tg a = 00 , a = ^ . Le plan asymptotique passant par la génératrice
(G), et perpendiculaire à DD', est donc perpendiculaire au plan tangent en
un point quelconque M de (G), c'est-à-dire que le plan tangent touche encore la surface tout le long de la génératrice G, et coïncide avec le plan (G) (G') mené par deux génératrices infiniment voisines. Les surfaces cylindriques appartiennent donc aussi à la classe des surfaces développables.
t88. On observera que, dans une surface développable, le plan tangent au point central 0, se confondant avec le plan asymptotique , doit être normal à DD', ce qui semble contre la définition du plan tangent : mais on va voir que le point est un point singulier.
Considérons, sur chacune des génératrices, son point central : le lieu de CCS points sera, en général^ une courbe continue O0'0"...La droiteOCqui réunit les points centraux des génératrices infiniment voisines (G) et (G'), fait awec (G) un certain angle GOO' que nous désignons par 9, et, si Ton mène O'P perpendiculaire sur (G), le triangle O'OP donnera
Or, si Ton conçoit la position de chaque génératrice comme déterminée par la valeur que prend une certaine variable /, l'arc de courbe 00', et Tangle £, pourront être considérés comme accroissements infiniment petits de fonctions de la variable (, et seront de même ordre que A(; tandis que la perpendiculaire O'P, dont la différence avec DD' ou yi est infiniment petite par rapport à e, sera comme DD', infiniment petite par rapport à A^ et à 00'. On a donc
lim sin cp = 0, lim cp = 0,
c'est-à-dire que la tangente en à la courbe OO'O"..., lieu des points centraux, se confond avec la génératrice (G).
Les génératrices d'une surface développable sont donc tangentes à une même courbe, lieu des points centraux sur toutes ces génératrices; c'est rareté de rebroussetnent de la surface.
Réciproquement, toute surface développable peut être considérée comme le lieu des tangentes à une courbe à double courbure. Dans les surfaces coniques^ cette courbe se réduit à un point ; dans les surfaces cylindriques, elle est transportée à l'infini.
1§4. De crue proprîëlé des surfaces déreloppaUes déeoole k samote, d'oii elles Ureiit leur nom.
Ifiscn'voas dans Taréte de rebroussemeot uo pdygone infioitésîiiial et gauche, aj3/de..., et eonce^oas que ses edcés soient iodâbûineat prolongés dans les deux sens; les portions planes et indéfinies comprises entre deux vôiéH consécutifs formeront, par leur ensemble, une surfoce poljédrale indéfinie. En faisant tourner chacune des faces autour d*unc de ses arêtes, on pourra ramener toutes ces faces indéfinies dans un même plan, et étaler la surface polyédrale sur un plan, sans atiérrr les Umfueun de$ lignes tées sur cette surface. Cette propriété ne cesse éTÎdemment pas de subsiste lors(|ue, tous les sommets du polygone a^rfit... se rapprocbant indéfin uicnt les uns des autres sur l'arête de rebroussemeot, ses cdtés, ou
arêtes de la surface polyédrale, tendent respectivement vers les tangentL ^r* à la courbe ; la surface polyédrale tend indéfiniment ii se confondre avec IV \^ surface développable, lieu de ces tangentes, et ses faces ont pour limiter ^ss, couime nous le verrons, les plans tangents à eettc développable. La proBH^^" priélé subsiste donc pour cette surface limite, et toute surface dévelof^^^P' pable peut Hre appliquée sur un plan sans altération des éléments de lon^^^' yueur des lignes tracées sur cette surface.
On dit souvent que deux génératrices consécutives ne se coupent pa^^ *s, dans une surface gauche, tandis qu'elles se coupent toujours dans une su fucc dévuloppublc. Ce langage inexact doit être entendu dans ce sens, qu» la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines étant d premier ordre dans les surfaces gauches, et d'un ordre supérieur dans le» Hurfaees développublcs, peut être négligée dans celles-ci et non dans les pre inic^res, lor8f|uo la question n'exige que la considération des infinimenP^ potils du premier ordre.
Exercices.
i . Siii fuco iloiil I Vquutioii est xyz =: u'.
f VI K
Ju
Nonimlo -. <*•(! — J')=y(»ï — y) = -(; — •).
t, Trouvor, ou roortioiint^cs rociNiigles, !• la distiincc P de rorigine O au plan tangent )\ UHo KUiTuoo z = t{je,y)i 2« le lieu du pied («,, yi, s^) de celle perpendiculaire, ou In |i()f/tii>>r do la surface par rapport au point O ; o* la normale à cette podaire.
U. On a
l/| -t-ii'H-î*
L^équation de la podaire résulte de rélimination de Xj y, z entre Pcquation de la surface et les suivantes :
En éliminant p et 9 on trouve équation qui; différentiée, donne
Le premier membre étant nul, le second Test aussi, ce qui montre que toute tangente
à la podaire au point a;,, yi, ^Tj est perpendiculaire à la droite dont les cosinus direc-
teurs sont proportionnels k x^ — -y yi — £> z^ — - ; la normale à la podaire est
^Mcnc la droite qui Joint le point {Xf^y^, z^) au milieu du rayon vecteury mené de l'ori-
S^ne au point (x, y, z),
S. Plan tangent et podaire de la surface
Pour m =2 la surface donnée est un ellipsoïde, sa podaire est la surface d*élasticité ^e Fresnel.
4. Un point (X|, y|, Z|) étant pris pour pôley le plan |X| +«3^1 -i-ç^i =k* est son T^ian polaire par rapport à Porigine 0, k' étant constant. La polaire réciproque (S') d*une Surface (S) est le lieu du pôle du plan tangent à cette surface : prouver que, réciproque- Hient, le plan tangent à la surface (S') en un point, a pour pôle le point de contact du plan tangent à la surface (S) au point correspondant.
ft. La surface des ondes a pour équation
RS— T-hv = 0, où Pon a posé
R = x«-i-y*-4-2% S = a«aî«-f-6>y>4-c»z>, T = a» (6«-4-c>) x^-^b* (c>-4-o») y^H-c' («>-*-6*)2%
LVquation du plan tangent est
«[o»(R— f:«— c«)-4-S](|— a;)-*-y[6>(R— c«— a>)-hS] >j-y)-4-2[c>(R— a>— 6»)-4-S](ç— 2:)=0.
Soient a'^db |/6*— c*, b' = l/a*—c\ (/ = ±: l/a*-— 6* ; les quatre points
cc^ - aa'
sont des points singuliers^ où il n*y a pas de plan tangent. Le lieu des tangentes est an cône du second degré qui a pour équation
o' / V ^ y ^^ aacc'
X ciz ayant les valeurs ci-dessus.
•. Soient x=mz'\'ày y =: n2r + jS les équations de la génératrice d*une surface réglée,
m; fi, a, /3 étant donnés en fonction d*un paramètre variable t. Pour que la surface soit
dévcloppable, il faut que les différentielles des paramètres par rapport à t satisfassent à
la relation
dmd^ — dndcx. &= ,
et, dans ce cas, la plus courte distance de deux génératrices consécutives est, non du second ordre, mais du troisième par rapport à A^
