SUITE DE LA THÉORIE DES COURBES A DOUBLE COURBURE
Plan oscnlatenr, courbure et torsion.
1S5. Le pta9i osculatetir, en un point M d'une courbe gauche, est la limite du plan mené par ce point, et par deux autres points M', M\ infiniment voisins du premier sur la courbe.
Considérons toujours les coordonnées rectangulaires de la courbe comme fonctions d'une même variable indépendante f, et soient t, <-+-At, £-+-2A< les valeurs de la variable qui répondent aux points M, M', M"; les coordonnées de ces points seront respectivement (x, t/, z)M; (x-hAo;, y-*-Ay, z-\'Az)W; (x-*-2Aa:-4-A«a:, y-t-SAyn-A'^, z + 2Aj2h-A«2)M".
Soient (^, y], ç) les coordonnées courantes du plan passant par ces points^ et X, Y, Z les cosinus directeurs de la perpendiculaire à ce plan : la condition de passer par le point M donnera l'équation
(a) X($-a:)H-Y(yj-t/) + Z(ç-z) = 0.
Le plan devant aussi contenir le point M', on aura
(6) XAx -h YAt/ -+- ZAz = 0,
et les coordonnées du point M" devant également satisfaire à l'équation du plan, il viendra
X (2Ax -^ A^x) + Y (2Ay -+- A*y) + Z (2Az + A*z) = 0,
~ 241 — «.'quittion qui se riMltiit, par la prée(i<lcnlc, h
(c) XA*a; + YA*t/ -t- ZA's = 0.
Si l'on divise respectivement par Al, A(' les i^qiinlions (E>), (c), et que l'on fasse tendre Al vers zéro, ce qui revient à supposer que les poinis M', M" se rapprochent indéfiniment du point M, on trouve que les valeurs limites de X, Y, Z satisfont aux ëquulions / X^ + Y' + Z'^l, (!) I Xdx-i-Y(hj + Zdz^ 0,
( X<Px -1- Y(i*y -+- Z(/*ï = 0, (les deux dernières ayant ét<S mulUplicc!^ respectivement par dt, dt*). Résolvant ce système par rapport à X, Y, Z pur la méthode bien connue, on trouve
dyU'z — (Izd^y dzd'jc — dxd*z dxd*ij — dijd^x
et la substitution de ces valeurs dans l'cqualion [a] donne, pour l'ëquation du plan limite,
{5) {l — x) {dyd^z — dzify) + {fl - y) {rfzfi*! - dxdH) + (5 — z) {dxd'ij — (hjd^x) = 0.
Le plan passant psr M, M', M" tend donc vers une position limite, et l'équation de ee plan osculaleur s'obtiendra en remplaçant, dans l'cqualion (5), dx, dy,... parleurs valeurs déduites des équations de la courbe. II est bon d'observer que les termes de l'équation (3) se déduisent l'un de l'autre parune^emiiftaftOH loiimunte.
t86. Soit MT la tangente à la courbe, au point M : le plan passant par la tangente MT, et par u» point infiniment voisin M', a pour limite le plan oscutateur en M. En effet, si
X(5-x) + Y(yj-y) + Z(ï-z) = est encore l'équation du plan variable, la condition de passer par In tangente dont les équations sont
dx dy dz
établira entre les cosinus X, Y, Z la relation
Xdi-t- Ydy + Zds = 0;
et la condition de pcnsscr par le point M', la relation
XAx ^ YAy -4- ZAz = 0.
Mais on a
dx . d*x Ai* . .„
Ax = ^A< H- ^- —-♦-.• , Ay=..., AZ=...;
substituant dans Tcquation précédente, observant que le eoeflScîent de &t est nul par la première condition, divisant par A(* toute Téquation et passant à la limite, on trouvera
Xd^x -♦- Y(Py -♦- Zd*z = 0.
Les équations qui déterminent les cosinus X, Y, Z, relatifs au plan limite, sont donc identiques avec les équations (1), ee qui suflBt pour établir que ce plan limite coïncide avec le plan osculateur.
187. On trouvera encore le plan osculateur, en cherchant la limite du plan mené par la tangente MT, et par une parallèle MTi à la tangente M!T en un point infiniment voisin M'.
On a d*abord, comme ci-dessus, pour le plan passant par la tangente MT, les équations
X{5-a:)-*-Y(y]-y)-+-Z(ç-z) = 0, Xdx-i-Ydy-^Zdz^O.
Le passage du point M au point M' se faisant par le changement de t en t + Af, les différentielles des coordonnées sont, au point M', dx + àdx; dy -\- Ady^ dz ■+- Adz, et les cosinus directeurs de la tangente M'T' sont respectivement proportionnels à ces quantités (175). La direction (X, Y, Z) devant être perpendiculaire à cette tangente, on a
X(dx H- Adx) -4- Y (d^ -4- Arfy) -+- Z (dz -+- Ad^) = ,
et cette équation se réduit à celle-ci :
XMx -H YAdy -+- ZAdz = 0,
qui, divisée par A^, donne à la limite
Xd«x -4- Yd^y -^ ZdH = 0.
Le plan limite satisfait donc encore aux équations (i), et ne peut différer du plan osculateur.
Cette propriété, rapprochée de ce qui a été établi au n"" 185, nous montre que le plan tangent à une surface dévcloppable le long d'une génératrice,
coïncide avec le pïan osculateur de Taréte de rebroussement de la développable au point où cette génératrice touche Faréte.
188. Deux plans oscutateurs infiniment voisins se coupent suivant une droite, qui a pour limite la tangente.
Soit, en effet,
X(? — x)^Y(yî — y) + Z($-z)=:0
réquation du plan osculateur de la courbe, en un point M. Le plan osculateur, au point infiniment voisin M', aura pour équation
(X-+-AX)(g— a:--Ax)4.(Y-*-AY){/j — y — Ay)-4-(Z-hAZ)(ç— jr— Ar)=0,
A désignant toujours les accroissements dus à raccroisscment At de la variable indépendante. La droite, intersection de ces deux plans^ satisfait à ces deux équations, et, par suite, à celle-ci :
{l — x) AX -i- (yj —y) AY h- (ç — «) AZ — (XAa: -^ YAy -«- ZAx) = 0,
où Ton néglige les termes du 2™* ordre AXAx,.... Divisant par Al, passant à la limite, et observant que Xdx-^-Ydy-^-Zdz est nul par les relations (i), on trouve donc que la limite de Tintersection des deux plans osculateurs est représentée par les deux équations
X($-x)-hY(/î-y)-*-Z(/j-z)=0, (Ç— x)rfX + (>î— y)dY + (ç-- z)c/Z==0.
Il reste à vérifier que les coordonnées de la tangente satisfont a ces deux équations. Cela est évident pour la première; quant à la seconde, elle se réduit par la substitution de rfjr, dy, dz à Ç — x, yj — y, ç — je, à celle-ci :
d\dx -^ dndy -^ dZdz = 0,
qui est une identité. En effet, si Ton différentie complètement la seconde des équations (i), et si Ton a égard à la troisième de ces équations, on tombe sur la relation précédente. Le théorème est donc démontré.
189. Dans les courbes gauches comme dans les courbes planes, la courbure en un point est le rapport de Fangle formé par deux tangentes infiniment voisines à Tare compris entre leurs points de contact, pris à la limite : seulement, en général, les deux tangentes ne se coupent pas. Cette courbure se mesure aussi par celle d*un cercle qui a en tous ses points une courbure égale à celle de la courbe au point considéré, et dont le rayon ^e nomme le rayon de courbure de la courbe en ce point.
D après cela, soient M, M' deux points infiniment voisins sur la courbe;
MT, M'I" les tangentes correspondantes, mcniïes dans le même sens; MTi pni-nllèle à MT'; R le nyoa de courbure en M. Oa aura 1 .. ongle TMT, R "^ "" arc MM' ' Décrivons, du point N comme centre et avec un rayon é);al h l'unité, l'arc de cercle TT, qui mesurera l'angle TMT,; j menons sa corde TTi = qi, cl nommons X, fi, v les I eosinus direclenrt de cette droite, prise de T vers j Ti. Soient enfin As la longueur de l'are MM'; ci,p,y les cosinus directeurs de la tangente HT. Ceux de la tangente MT étant a -t- Aa, p + Ap, y + ày, si l'on projette sur l'axe des x le contour triangulaire MTTiM, on trouvera évidemment.
« -f- (/X — {« -H As) = 0, ou A« = 9X.
Divisons par As et observons que
,. o ,. arcTT. 1
lim ■— ^ Itm îiizi = — :
As arc MM' R
il vicnilrn, à la limite,
da }. dp ft dy v
rfs~R' rfs~R' d«~R'
les deux dernières équations étant obtenues de la même n projection sur les axes des y et des z. Les cosinus directeurs ï, f^i, v se rapportent ici h la direction TTi, pHseàla limite. On déduit d'abord, des équations ci-dessus, la relation
j d«* + 4' + df*
R* ~ ds*
ou
[/((a»-Hdp*-i-d7»
qui Tait connaître le rayon de courbure, a, p et 7 étant déjà connus. La quantité j/rfa'-i-i/p'-i-rfy* s'appelle Tnnjr/e de contingence.' il est clair, en cfTet, qu'elle représente l'angle de deux tangentes infiniment voisines, lorsque l'on regarde da, dp, dy comme les accroissements infiniment petits de a, p, 7, et que l'on néglige les termes d'ordre supérieur au premier.
19tt. Quant à la direction {)., fj., v) définie par les équations (4), remnr-
quons que la corde TTf est dans le plan TMTi qui a pour limite (187) le plan osculateur de la courbe en M; que l'angle MTTi qu'elle fait avec la tangente a pour limite 90*», puisque les angles en T et Ti sont égaux et l'angle en M infiniment petit. La droite TTi a donc pour limite une perpendiculaire à la tangente MT, menée dans le plan osculateur ; elle est d'ailleurs dirigée du même côté de cette tangente que le point M', c'est-à-dire (it^côte ou la courbe tourne sa concavité,
La parallèle MZ à cette droite limite, tirée du point M, se nomme la normale principale ; elle coïncide évidemment avec Tintersection du plan normal et du plan osculateur au point M, et sa direction est définie sans aucune ambiguité par les équations
as ^ as as
191. L'expression du rayon de courbure (5) peut être transformée de diverses manières. On a d'abord (176)
dx dy dz
ds^ ds ds^
{ dsd^x — dxdhy -j-jdsd^y— dydHy-^-jdsd^z-^dzdHf
Développant les carrés, et observant que de l'égalité
ds« = dx' -♦- dt/* -4- dz^
on tire
dsd^s = dxd^x -h dyd^y -*- dzdH^
on obtient
ds* (d*x» -4- d*î/«-^dV) 4-(/5*d*««— âd^'dV
da} -♦- dp* -+- dy
ds* d^x^ 4- dY -*- rf'g^ — d*s^
d'où
/d«x« -h dy -f- d*z« — d«5«
On a encore, en éliminant ds', d^5^ et usant d'une transformation connue (5),
(dx*-hd?y*-Hdz*)«
|/(dx« -h d*/* -h dz*) {d^x* -^ dhf -4- d*z«) - (djcd^x -♦- dydhj -^ dzdHf
<iir enfin
y^[dyd*t — dzd*y)'-+- (d:d*x — dxd't)'-*- (icrf*j — dyrf* j)' R est ainsi exprimé en fonriion des différentielles des cuordonnérs seulement. Nous désignerons désormais par A, B, C les coefficients de l, v, ; dans IVquatïon du plan osculateur, en sorte que Fou aura (7) A^dijd*z — dzd*y, B = dzd*x — dxiPz, C>=dx(f*y — dj/d*!. Le rayon de ruurburc s'exprimera alors comme il suit :
1M. On nomme eerWe (ie rourburo, en un point donné M d'une courbe, un cercle qui a même courbure que la courbe en ce point, et est placé de maittcrc ii rendre sensible celle égalité des courbures : c'est-à-dire, dans le plan osculateur en M, tangent à le courbe en ee point, et lourninl si eiincavité du m4'mc cilié. Il est visible que son centre Z est sur ]a normaic principale, il une distance R du point H(x,y,i) îles coordonnées (7i,yi,ii] de ce rentre sont donc données par les équations
Xi— JC;=RÏ, J, —y = R[A, z, — Z=sRy,
nu
19S. On peut donner, du rayon de courbure R d'une courbe fiàuchr, une exprassion géométrique semblable à celle que nous avons donnée pour les courbes planes (150), et qui se déduit aussi de ce théorème, semlil^ble à celui du nM47:
L'angle TNM' compris entre ta eorde d'un arc infiniment petit et la loigénie, dona une courbe gauche, est la moitié de l'angle TMTi des langtBte c eitrémitéa de cet are, aux quantités prés d'un oi^' I supirieur^à cet angle.
I suffît, pour établir cette propriété, de projeter »>' I le plan oseulnlcur en M l'arc MM', sa corde, la tangenl" I M'T' dont V.i projection m't touchera en m' la prtj'^" (ion Mwi'dc bi coiirlic. On siiit (H7) qiie,d.ins In courbe plane Hhi', l'éga^*^'
.•inglrTMHj'=:-iinsleTnC
a lieu, lorsqu'on néglige des quantités infiniment petites par rapport à ces angles. Or, le plan M'MT, mené par la tangente MT et lu eorde MM', Tait un angle infiniment petit avec le plan osculaleur (18fi); l'angle TMM' et sa projection TMm' diffèrent donc d'une quantité infiniment peiite par rapport k eux-mêmes. Il en est de même de l'angle des tangentes MT, H'I", et de sa projection Tnl', parce que le plan TMTi, parallèle aux deux tangentes infiniment voisines, fait un angle infiniment petit avec le planosculuteur'(l87). L'égalilé précédente subsiste Jonc, lorsqu'on subsiilue TMM' à THm', TMTi à TnC, et Ton a
angle TMM' = - angle TMT. ,
les termes négligés étant d'ordre supérieur à ces angles.
Cela étant posé, on abaissera du point M' une perpendiculaire M'P sur la tangente en M, et l'on démontrera, par un raisonnement identique à celui du n° 130, l'égalité
