MP
Les considérations qui précèdent montrent aussi facilement que le rayon et le centre de courbure, en un point d'une courbe gauche, coïncident avec le rayon et le centre de courbure relatifs k la courbe plane, qui est la projection de la courbe donnée sur son plan osculaleur au point donné.
tM. Le cercle osculaleur, en un point H d'une courbe à double courbure, est la limite du cei'cle passant par ce point, et par deux autres points W, N" infiniment voisins du premier. •
Il suit déjà de celte définition que le cercle osculateur est situé dans le plan osculateur en M ; on peut établir, en outre, qu'il coifncide avec le cercle de courbure. Pour cela, on élèvera des perpendiculaires MS, M''S aux cordes MM', M'M", dans le plan MM'M"; MS sera i le diamètre du cercle passant par les trois points.
Projetant toute la figure sur le plan osculaleur ai puint H, on prouvera par la même mélbode qu'ai n' 193, que l'angle infiniment pelit KH'M", compri vnlre deux cordes consécutives, est égal à la moitié 1 (le l'angle des tangentes à la courbe en M et en M", va négligeant des quantités d'ordre supérieur (15S). Cela posé, la démon- ^Ualion s'achèvera comme au n' l.'iS, sans aucune modification : on fera
loir que liât M'S = iH, que H'S (end vers une direction pcrpendîculoire a la tangenle 3iT, cl du tHé de la concavité de la courbe ; d'où il rësullen, enfin, rideiiliré annoncer du cercle o&culalcur et du cercle de courbure.
t9S. La courbure considérée jusqu'ici dans les courbes & double courbure esi la seule qui c\isle dans les courbes planes, où elle se définit de même. Xab, dans les courbes à double courbure, il y a lieu de considérer une seconde espèce de courbure, résullanl de la déviation successive du plan o.^ulateur à mesure que l'on chemine sur la courbe, etàlaquelk, pour la distinguer de la première, on donne le nom de torsion. V
La torsion, en un point M d'une courbe gauche, est la limite du rapport I de l'angle compris entre les plans oscutaleurs en deux points infinimeDl 1 voisins H et M', à l'arc de courbe MH' compris ] entre ces deui points. Pour calculer cflle I limite, on procédera comme dans le cas delà- I première courbure. Elevant au point M des I normales HU, NU| aux deux plans oscula — teui-s consécutifs , l'angle compris entre ces normales est égal à celui des deux plans, et il esl mesuré par un arc de cercle UL'i, de rayon I, dccriCde M comme centre et terminé à ces deux normales. Projetant le coiituui'
\ Ml'l'iM sur les trois axes coordonnes successivement, et désîgnanl par ^
in torsion, par X, Y, Z les cosinus directeurs de la perpendiculaire au plao osculatcur, on trouvera c<
^ 1 t/dX*+<IY' + (fZ\
Itepri'iions les équations
+ Y' + Z»=1, [ Xflx + ydy-t-Zdz^O, i. XJ*x+\'(l'y-t-Zd*z = 0, et ililTérentions-lcs en ayant égard a l.t troisième ; il vient / XdXf\dY + 7.dZ=l}, } dxd\.-hd^dY'i-dzdZ=0,
{ d^xdX + (PydY + d*zdZ = ~ (Xd'x + ydhj -I- Zd'z). Itésolvant ces équations par rapport h dX, dY, rfZ par la nictbcy^
connue, et observant que le dénuminateur commun X {djjd^z — dziPy) -♦-••• n'est autre chose que AX -+- BY h- CZ, on trouvera
c/X ^Y dZ ___ Xd^x -*- Ydhj -»- Zd^z Ydz — Zdy~Zdx-^Xdz~Xdu'-Ydx~'^' AXh-BYh-CZ '
et ces rapports égaux sont encore équivalents , d'après une propriété connue, à
i/dX* -+- rfY« -♦- rfZ*
|/( Yc/z — Z(/î/)* -+- (Zdx — Xdzy -4- (Xdi/ — Ydxy
Mais la quantité sous le radical, au dénominateur, se réduit à
(X* -*- Y* -*- Z«) {dx* -4- dif -f- rfz*) — {Xdx -4- Yrf^ -4- Zdz^ = cfo*,
donc la fraction ci-dessus n'est autre chose que ± - > donc
1 Xd^x -f Yd^y h- Zd^z
T ~ âxTbyT CZ ^
et si Ton remplace X, Y, Z, au numérateur et au dénominateur, par les quantités respectivement proportionnelles A, B, C, en vertu des formules (2), on aura enfin
1 Ad'x H- Bdhj -\- Cd'^z ^^ t ~ ■ A« -+- B' H- C«
pour l'expression de la torsion. Il suffira d'y remplacer A, B, C par leurs valeurs (7), et de déterminer le signe de manière à obtenir pour T une valeur positive. On appelle la quantité T le rayon de torsion, par analogie
avec le rayon de Courbure, et — - est Vangle de torsion.
Remarque. Lorsqu'une courbe est plane, les plans osculateurs en tous ses points coïncident, et la torsion est nulle en chaque point. Cette condition est exprimée par l'équation
Arf'x -4- Bd'y -*- Cd'is = 0,
et réciproquement, il est facile de vérifier que celle relation signifie que tous les points de la courbe sont dans un plan. En effet, l'équation d'un plan quelconque
«X -\-by -^ cz-h (/=0, différentiée trois fois, donne
arfx-4 bdy-hcdz^^O, ad^x-hbd^y-hcd*z=Oy ad'x-h6rf'y-hcrf'j3=0.
et rclimination des constantes a, 6, c entre ces trois équations conduft à la condition unique
{dycPz — dzcPy) rf'x-f-(rfzd*x — dxd*z) d^y+{dxd*y — dyd^x) rf'je==0,
il laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la courbe. Or, cette équation n'est autre que celle que nous avons donnée plus haut.
196. Le plan UMUi mené par les droites MU, MUi, est perpendiculaire il rintersection des deux plans osculateurs infiniment voisins, qui a pour limite la tangente en M. Ce plan a donc pour limite le plan normal, et la droite UUi , située dans ce plan et faisant avec MU un angle qui tend vers 90", est évidemmenty à la limite^ parallèle à la normale principak» Ses cosinus directeurs sont =bX, dbp, dby.
D'après cela^ si Ton projette le contour MUUiM sur les trois axes coordonnés, comme il est dit plus haut, et si Ton raisonne comme au n<* 189, ea convenant d'affecter T du signe -«- ou du signe — selon que MU| fait ua angle aigu ou obtus avec la normale principale MZ, on trouvera
dX^l ^t — — !L ds^^T' 18~t' ds~T'
Exercices,
f . Hélice (ch. XX, ex. 1).
Plan osculateur :
Çy — >}« — (? — 2;)atgT = 0.
Cosinus directeurs de la normale au plan osculateur :
y cos T ,r * cos T
Rayons de courbure et de torsion :
sin*T sinrcosT*
ces deux rayons sont constants.
Cosinus directeurs de ia normale principale :
>== — -, /* = — ^, v = Oî a a
elle se confond avec la perpendiculaire abaissée du point donné sur l'axe du cylindr Centre de courbure :
jp, = — a?cot*T, yi = — ycot*T, Z|=z.
Lieu du centre de courbure :
x. = sin— ) yi = cos — ï »i -t-y.' = -r;
c'est une hélice décrite sur un cylindre de rayon —
