Théorème IL — Soient
une suite de rapports égaux; m, m', m'*,..., des quantités quelconques. On aura les égalités
a o' tt" a -♦- a' -+-o"-t- ••• ma h- m'a' + m"a"-*- •••
Posons en effet
it — ^ — - — — —
(A) a = kb, a' = W, o" = it6",....;
ajoutant membre à membre ces égalités, nous aurons
a •\' a' -¥- a" -+-••• =ïfc(6 4- 6' -i- 6" h-»»*)»
d'où enfin
Si, avant d'ajouter ces équations (A), on les multiplie respectivement par les facteurs m, m', m",...., on aura de même
ma -*- m'a' -*- w"a" -*-•••
mb H- m'6' -♦- m"6" h- •
Enfin, si l'on ajoute ces mêmes équations (A) après les avoir élevées au carré, on obtient
a« -». a'« -4- a"« +...=*« (6« -i- 6'* + 6"« 4-...)» d'où
it=:±:
ce qui achève de démontrer les relations proposées.
3. Théorème IIL — Soient a, a', a",...; 6, 6', 6",..., rfewx swire* cowiposées dun même nombre de quantités; on a toujours
(a«-4-a'«-t- o"* -t-...)(6* -^ 6'* -*- 6"* -+-•.) — (a6 -+- a'6'-t- a"6"+ .-)* = =» {aV — 6a')* -^ (a6" — 6o")* -*- (a'6" — 6'o")* + • • •
Il suffit de développer le carré {a6 -4-a'6'-4-a"6" h )*, et de lu
ajouter la somme de carrés
(ah' — 6a')' + (a6" — 6o")' + (a'6" — 6'a'7 -h ... ;
tous les doubles produits 2a6a'6', 2a6a"6",-..; — 2tt6a'6', — 2a6a"6'S-. se détruisent. Groupant ensuite les termes en a*, en a'*, etc., on trouve
ou simplement
ce qui démontre la formule proposée.
§ 2. Des quantités imaginaires et de leur usage.
4k, On appelle quantité ou expression imaginaire toute expression d la forme
a + pj/znr,
a et p désignant deux quantités réelles quelconques. Une telle expressio n'a par elle-même aucun sens, et ne représente rien ; mais à l'aide de conventions dont nous allons parler, on peut introduire ces sortes d symboles dans l'analyse, raisonner rigoureusement sur eux comme sur d véritables quantités, et abréger ainsi les calculs.
Conventions, i^ Deux expressions imaginaires sont dites égales, quan
les parties réelles d'une part, les coefficients de j/ — 1 de l'autre, soi respectivement égaux dans ces deux expressions ; en sorte que l'équatio
a -4- (3 i/C:^ = a' H- (3'(/^ ne signifie rien autre chose que les deux égalités
En d'autres termes, toute équation imaginaire est la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles.
2° Lorsque, dans l'expression a-t-p^/ — 1, ^ se réduit à zéro, on admet que l'expression elle-même se réduit à a; par là, les quantités réelles sont renfermées comme cas particuliers dans les imaginaires.
5° Vaddltîon, la soustraction ^ la multiplication s'effectuent sur les imaginaires d'après les mêmes règles que sur les quantités réelles^ en
convenant de traiter ^/ — i comme une quantité réelle dont le carré serait — i. Par exemple, si l'on développe d'après cette convention le
produit
(cos a -*- [/ — 1 sin a) (cos 6 -♦- {/ — i sin 6), on obtient, comme il est facile de le vérifier.
cos
(a -H 6) -*- (/ — i sin (a h- b),
et ce résultat s'exprime par l'équation imaginaire
(cos a H- j/ — i sin a) (cos 6+^—1 sin 6) =cos(a4-6)-*-j/ — 1 sin (a-4-6) :
d'après ce qui précède, cette équation signifie qu'après avoir développé le premier membre par la multiplication algébrique, on trouvera une
partie réelle égale à cos (a + 6), et un coefficient de i/ — i égal à sin (a + 6). On renferme ainsi dans une seule équation les formules qui expriment cos(o-t-6), sin (a -+-6): premier exemple de l'utilité des imaginaires.
4« Diviser une quantité imaginaire a -+- ^ ^/ — 1 , par une autre
a'+(3'j/ — j, c'est en trouver une troisième qui, multipliée par la seconde, reproduise la première.
S*» L'élévation aux puissances entières, fractionnaires, négatives, se
définit encore comme pour les quantités réelles. Ainsi (a-H(3j/ — i)**,. m étant entier et positif, représente le produit de m facteurs égaux à
(a 4- (3^ — 1); (a-*-(3|/— i)"*^ est le quotient de l'unité par coproduit; et ainsi de suite.
G'^Deux quantités imaginaires sont conjuguées, lorsqu'elles ne diffèrent
que par le signe du coefiBcient de y — i ; telles sont
Leur somme 2a, et leur produit a*-t- (3*, sont réels.
5. La certitude des résultats auxquels on parvient par l'emploi des imaginaires repose sur ce principe : Si l'on combine entr'elles des quantités ou des équations imaginaires par addition, soustraction, multiplication, comme si l'on opérait sur des quantités 7*éelles, suivant /es conventions ci-dessus, les équations ainsi obtenues seront toujours rigoureusement exactes, dans le sens que nous attachons à l'égalité des quantités imaginaires; c'est-à-dire que chacune se dédoublera en deux équations réelles.
En effet, dans les quantités ou équations quMl s'agit de combiner,
remplaçons d'abord [/ — i par un facteur réel indéterminé 1, puis faisons les opérations indiquées. Les équations résultantes étant évidemment exactes quelque soit A, les coefficients des mêmes puissances de X seront égaux dans les deux membres de chacune d'elles; cette égalité des coefficients subsistera, même si Ton remplace A par une expression quelconque; par exemple, si Ton substitue à
respectivement
j/— i, —1, — j/— i, -♦-i, -*-j/--i, etc..
Or, on a ainsi le résultat même auquel on serait arrivé en laissant
partout (/ — i au lieu de i, et opérant comme si |/ — i était une quantité réelle dont le carré soit égal à — 1. Dono enfin, dans les
équations obtenues par ce procédé, les parties indépendantes de y — i sont égales dans les deux membres, comme aussi les coefficients de
On voit que le symbole y — i ne joue ici que le rôle d'un simple flutil, servant h maintenir séparées, dans chaque équation imaginaire, les quantités qui doivent appartenir soit à l'une, soit à l'autre des deux égalités réelles.
Il résulte aussi de ces raisonnements que les propriétés fondamentales des opérations primitives s'appliquent aux quantités imaginaires : ainsi, l'ordre des facteurs d'un produit est indifférent, etc.
6. Transformation des imaginaires. Une quantité imaginaire a+(3j/— T étant donnée, on peut toujours poser
a -t- (3 1/ — I = r (cos -4- |/— i sin 9),
r, 9 étant réels et r]> 0. En effet, cette équation équivaut à celles-ci :
a = r cos , P = r sin 9, d'où
r s=s |/a« H- (3*, cos = - » sin 9 = - ;
et comme ces valeurs de sin 0, cos sont numériquement moindres que Funilé et vérifient IVgalilé
sin* -I- cos* = 1,
il existe un arc réel qui, avec la valeur trouvée pour r, satisfait à la question. Il en existe même une infinité, puisque Ton peut augmenter ou diminuer d'un nombre quelconque de circonférences sans changer sin ni cos 0.
Considérons a, |3, comme les coordonnées rectangulaires d'un point du plan : r, seront les coordonnées polaires de ce point. On dit que r est le
module, Yargument de la quantité imaginaire a-i-jB^ — 1 ; les équations ci-dessus montrent que :
i° L'égalité de deux imaginaires entraine celle de leurs modules;
2" Toute quantité imaginaire qui a pour module zéro se réduit ellemême à zéro, et réciproquement, car les égalités
a«^-P*n=0 et a = 0, ^ = 0,
sont équivalentes.
3" Une quantité réelle a pour module sa valeur numérique, et pour argument un nombre pair ou impair de fois n, selon qu'elle est positive ou négative; car si JB est nul, on a
r = ^^, cos0 = db1,
suivant que a> ou <^0.
Il est souvent commode de mettre les imaginaires sous la forme
r (cos -♦- ^ — i sin 0).
7. Addition. Soient r^^ r",.-« les modules; 0, 3', G'',... les arguments de plusieurs quantités imaginaires; R, T le module et l'argument de leur somme
r(cos9H-|/— \ sin9) -♦-r'(cosO'H-|/ — i sin6') h
Portons bout-à-bout, à partir de l'origine, des longueurs OA, AA', A' A",... égales à r, r\ r",... cl faisant respectivement avec Taxe des x positifs des angles G, G', G",..- L'extrémité de la dernière droite aura pour coordonnées polaires R et T. En effet, ses coordonnées rectangulaires sont
r cos G -♦- r' cos G' h- r' cos G" -♦- • , rsin G -4- r'sin G' -♦- r"sin G" -i-'-
Corollaire, Le module de la somme de plusieurs imaginaires est toujours plus petit que la somme de leurs modules.
8. Multiplication et division. D'après la définition de la multiplication des quantités imaginaires, et la formule rappelée plus haut (4, d**), on a évidemment :
r(cos9-^j/^^sinG)xr'(cosG' + j/^sinG')=r?''[cos(G-+-G')4-|/— i sin(04-e
Multiplions les deux membres par une imaginaire r"(cos G"-*-j/ — i sin 0'% et appliquons la même formule, nous aurons de même
r(cos G -*-|/^ sin G) X r(cos ^'-\-[/^ \ sin G') X ''" (cos G"-f |/^^sia 0")
= rr'r" [cos (G + G' -h G") -^ /— i sin (G -h G'-+- G")],
et ainsi de suite. Donc :
Le produit de plusieurs quantités imaginaires est une nouvelle quantité imaginaire, qui a pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments.
Soit à diviser r (cos G + p/ — i sin G) par r'(cos G' -v- i/ — i sin G'), c i désignons par x le quotient : la définition de la division (4, 4**) nouî donne
r (cos G + j/— 1 sin G) = x r'(cos G' -h j/— 1 sin G').
Multiplions les deux membres de l'équation par - j puis par
cos
G'— l/^^sin G'= cos (~ G') + (/— 1 sin (— G'),
en ayant égard à la règle ci-dcssus; il viendra ;
- [cos (9 — 0') -♦- j/— 1 sin (G — 0')] = x ,
doù
r(cosG-Hi/"^4 sin 0) i- ,. ,, y — • . ,.
. r(eosG'+/-1sinO') '*
Ze quotient de deux imaginaires a pour module le quotient de leurs modules, et pour argument la différence de leurs arguments. Soient r=1, = 0, la formule devient
^ = i(cos 0'- |/— i sin 9').
r(eosG'-4-pAITsinG') *'
9. Elévation aux puissances. Pour élever r(cosO-*-j/ — 1 sin G) à la puissance m, m étant entier et positif, il suffit de supposer, dans la règle établie pour la multiplication des imaginaires, que les facteurs du produit soient égaux et en nombre 97i. On a
[r(cos G -H j/ — \ sin 0)]'"= r*"(cos m9 -+- 1/ — \ sin mG). De mémo, comme
[r (cos G -4- |/ — \ sin G)]-*» =
[r (cos G -+- 1/^^ sin G)]
r"* (cos wiG -4- (/ — 1 sin mO)
on aura, d'après la remarque faite ci-dessus (8),
[r (cos G -H (/ — i sin G)]"»" = ~ (cos mG — |/ — 1 sin mG)
= r" •" [cos (— mG) -*- (/ — 1 sin ( — mG)].
Cette formule est comprise dans la première, en admettant que le nombre »* puisse être positif ou négatif.
Considérons les puissances fractionnaires. Elever r(cosG + |/ — IsinG)
^^a puissance —, c'est trouver une quantité imaginaire p(cosÇH-|/ — 1 sin^)
qui, élevée à la puissance n, reproduise la première; ou qui satisfasse à réquation
[p{cos Ç -*- 1/— i sin {)]" = r(cos -♦- 1/— i sin 0).
D'après ce qui précède, le premier membre est égal à
p'»(cos nÇ -♦- (/ — i sin wÇ), d'où les équations
p»» == r, cos wÇ = cos 0, sin wÇ = sin 0, et par suite
p = r'*, nÇ = -4- 2À:7r, $ =
k désignant un nombre- entier arbitraire^ positif ou négatif. On a donc enfin, en remplaçant p et Ç par leurs valeurs,
/x r/ û / — r. mi- ~/^ + 2*77 / — - . 0H-2Â:7r\ (a) [r(cos0 4-(/ — \ sinQ)]" = r" ( cos \-y — i sm !•
Portons sur la circonférence de rayon i, à partir du point A pris
pour origine des arcs, un are AP égal à - ; puis, partant du point
P, divisons la circonférence en n parties égales; les arcs comptés du point A aux points de division auront pour valeurs respectives
ce seront les arguments des racines n'""** de la quantité proposée. D'où il suit immédiatement que l'expression
[r(cos0 + |/— isin0)]
admet n valeurs distinctes, et pas plus : on les obtient en prenant pour A:, dans l'équation (a), n nombres consécutifs quelconques de la série
Corollaire, L'équation (a) fait connaître les diverses valeurs des exprès-
Sions i*», (—1)* : dans le premier cas, on fait r=l, 9 = 0, et l'on a
i ^kn y — - . 2A7r.
1 »• =cos h v — \ sm — ;
dans le second, r=l, 6=7r, d'où
, .1 2A: + i /-— . 2A:-4.i (— i)»»=cos TT -♦- 1/ — i sin tt;
on prend toujours pour h n nombres consécutifs de la suite indéfinie donnée ci-dessus. D'où l'on voit, à cause de l'équation (a), que l'on obtient les n
valeurs de [r (cos G -♦- [/— i sin 9)] • en multipliant les n valeurs de
i* par le facteur r** [ cos- -♦- j/ — i sin - )•
On observera encore que les diverses valeurs des expressions i *,
( — i)", [r(cos9-t-j/ — 1 sin 9)]" 5 ne sont autre chose que les valeurs de z capables de satisfaire aux équations
jz» — i=0, j2»»-»-i=0, jj"= r(cos 9 -4- 1/— i sin 9),
et<[u'ainsi les formules ci-dessus donnent la résolution complète de ces équations. Les racines des deux premières jouissent de propriétés remarquables que nous n'étudierons pas ici(0.
Supposons enfin que l'on élève l'expression r (cos 9 -♦- j/ — i sin 9) à
la puissance —, m et n étant entiers et premiers enlr'eux. Il suffira de
combiner les règles précédentes, et l'on obtiendra
[r(cos9-*-j/ — i sin 9)]" =r"( cosm h(/ — \ smm y
Remarque importante. On a vu que le module r et l'argument 9 d'une quantité imaginaire peuvent être considérés comme les coordonnées
(1) Voir, pour plus de détails, les Leçons de Géométrie analytique de MM. Briot et Bouquet, Paris, 18^7, p. 27; et V Algèbre supérieure de M. Serret, 3« édition, 1. 1, p. 219.
polaires d'un point du plan, et que, en un même point, rargumcnt admet une infinité de valeurs comprises dans la formule -♦- 2A:7r. D'après cela, les règles précédentes pour former toutes les valeurs que prend une
quantité imaginaire >' (cos G -♦- 1/— 1 sin G), élevée à une puissance quelconque marquée par /^t, peuvent être renfermées dans cette seule formule
— \ sin G)]' = r (cos aO -h y — 1 sin \iS)^
pourvu que Ton attribue à G, dans cette équation, successivement toutes les valeurs que cette quantité comporte en un même point du plan.
