Démontrer les formules suivantes

'''T-(iï-^T)*' "•" — (fi-^l)*' "" — (s-*-!)"'-

ft. Soient M, M' deux points infiniment voisins, sur une courbe gauche; « Tare MM'; H, T les rayons de courbure et de torsion en M. Démontrer que la distance S du point M' au plan osculateur en M, la plus courte distance S' des tangentes en M et en M', la diffcl'cnce s entre Parc s et sa corde, ont respectivement pour expressions

6RT' ° ""ISRT' *~2iUT'

aux infiniment petits près du i« ordre.

•. Dans une courbe tracée sur la sphère, le cercle de courbure en un point M a pour polcj sur la surface sphérique, le point de rencontre des arcs de grand cercle normaux à la courbe, aux points infiniment voisins M et M'. Ce cercle se confond avec Pintersection de la surface et du plan osculateur de la courbe au point M.

9. En désignant pur l'inclinaison dn plan osculateur en M sur le plan tangent à la sphère, par s Tangle des grands cercles tangents à la courbe en M et en M', on trouve

e=:---cosO, R = sin9, tgO=s-, T = j, R«-*-

Ks)'='

9. La courbe étant rapportée à une origine A sur la sphère, par les coordonnées sphcriqucs p ci ù» (ch. XX, ex. 4), V étant Pangle sous lequel la courbe coupe son rayon vecteur p, on trouvera

tgO=:--- —, tgO =

d\ -h cos pdùi

formules qui serviront à déterminer le pôle du cercle de courbure.