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que l'on obtient en divisant la précédente par l'accroissement A( que pr^ ^" la variable t, dont dépendent les coordonnées de la courbe, lorsque T^^ passe du point M au point M'. Ces points se rapprochant indéfiniment, i4/

tend vers zéro, et la droite limite satisfait aux équations

la diffërentiation indiquée ne portant, comme il résulte des raisonnements qui précèdent, que sur les quantités qui dépendent de la variable t dans l'équation du plan normal, et non sur ^, y], ç.

D'après cela, les équations de la droite polaire, au point dont les coordonnées sont (x, y, z), seront

i (S— x)dx-4.(7î — t/)di/-t-(ç — z)rfz = 0,

à cause de la relation

dx' -+• dy* -+- cZz' = ds*.

On tirera des équations de la courbe les valeurs des différentielles cZjt, d*x,,.. en fonction des coordonnées x, y, «, et on les substituera dans les équations (1).

La droite polaire coïncide avec la normale au plan osculateur^ élevée par le centre de courbure. En effet, rinterseclion des deux plans normaux étant perpendiculaire à la fois aux tangentes à la courbe en M et en M', est perpendiculaire au plan mené par la première parallèlement à la seconde, plan qui a pour limite le plan osculateur : la droite polaire est donc normale au plan osculateur, et il reste à faire voir qu'elle passe par le centre de courbure Z.

Les coordonnées de ce dernier point sont (192), en conservant les notations du chapitre précédent,

ari = X -t- RX , yi = y -i- R|ui , zi = z -^ Ry.

Substituons les à Ç, yj, ç dans les équations (1); la première est évidemment satisfaite. Quand h la seconde, si nous prenons l'arc pour variable indépendante, elle peut s'écrire comme il suit :

{l — x) rfa -♦- (yj — y) d(3 -♦- (ç — z) dy = ds, d'où nous tirons, en vertu des équations (4) du n*» 190,

En y substituant les valeurs de Xi, i/i, Zi au lieu de Ç, /], ç, on obtient l'identité

R (X« H- fx« -t- V*) = R.

La proposition est donc démontrée; et il en résulte que les équations

de Ja droite polaire peuvent s'écrire sous la forme

(^2) ^— J^t '^ — !/i ?•— gi

IM. On appelle surface polaire d'une courbe à double courbure, la surface n*glée qui est le lieu des droites polaires correspondantes aux différents points de la courbe. Son équation s'obtiendra, pour une courbe donnée, en éliminant x, y, z entre les équations de la courbe et les équations de la droite polaire relative à un point quelconque.

La surface polaire est développable. Pour le démontrer, cherchons d'abord, sur la droite polaire représentée par les équations (I), la limite O du point où cette droite est coupée par un plan normal infiniment voisin^ qui répond au point M'(x-*-Ax, y-*-Ay, z-^Az), Représentons encore pat" N=0, rfN = 0, les équations de la droite polaire; par N-*-AN=0 l'équation du plan normal en M'; le point d'intersection {l^ yi, ç) satisfera ices trois équations, et par suite à celle-ci