AN

Mais si l'on considère N comme fonction de f, et qu'on développe ANpià i la formule de Taylor, on a

et comme -j- est nul, puisque ^, y], ç satisfont à la seconde équation de la droite polaire, l'équation AN = 0, multipliée par -— , deviept

dl*

A la limite, A< est nul, et le point (^, t], ç) satisfait à l'équation cf^N^^* jointe aux équations de la droite polaire. Comme ^, y], ç sont constants dans cette différentiation, l'équation (2*N=:0 se réduit à

(?— x)ci5x-t-(/i— y)cl»y-t-(ç— «)d'z — 3d«rf*« = 0,

à cause de la relation

dxd^x -4- dyd^y ■+■ dzd^z = dsd^s.

D'après cela, si nous désignons par (x', y, «') les coordonnées du po»"'

ni te O, ce point sera détermine par les trois équations

[ (x' — x) rfjc -+- (ly' —y)dy -\' (z' — z) dz = 0, (5) ) (x' — x)d\t ^ (y'— y) d^y -^ {z—z) d^z — (/«« =0, ( ( r' x) d^x -t- (y'— y) d^y + (z'— ;î) dH — 5d«(/«s =0.

Le lieu du point 0, considère successivement sur chacune des généraices de la surface polaire, est une certaine courbe OO'O"... : démontrons je toutes les droites polaires sont tangentes à cette courbe. Pour cela, tfférentions complètement les deux premières équations, en considérant 9 y', z\ Xy yv9 eomme fonctions de la même variable L Nous aurons 1 ccessivement , en réduisant les équations obtenues au moyen de la conde et de la troisième équation (5),

dafdx -*• dy 'dy -♦- dz'dz = , dx'd^x -+- dy^d^y -+- dzd^z = ;

rfx' dy' dz'

dyd^z — dzd^y dzd^x — dxd^z dxd^y — dyd^x

<]es équations, qui peuvent (i85) se mettre sous la forme

dx' dy" dz'

>u$ apprennent que les cosinus directeurs de la tangente à la courbe, 'V du point {Xj y', z'), sont proportionnels à ceux de la droite polaire sur quelle ce point se trouve : les deux droites coïncident donc. Donc la sur-

• ce polaire est une surface développablcy et la courbe^ qui est le lieu du >int défini ci-dessus ^ est son arête de rébroussement.

On obtiendra les équations de cette courbe en éliminant , entre les [nations (5) et celles de la courbe donnée, les variables x, y, z et leurs ^érentielles. On aura entre x', y', z! deux équations, qui seront celles

* l'arète.

On trouverait la même courbe, comme il est facile de le voir, en cher- ^ant le lieu du point d'intersection de trois plans normaux infiniment ^isîns, considéré à la limite.

199. Le plan tangent à la surface polaire, le long de la génératrice ^, coïncide (i8â) avec la limite du plan mené par cette génératrice, ^rallèlement à la génératrice infiniment voisine O'Z'. Mais les droites OZ, 'Z' étant respectivement normales aux plans osculateurs en M et M',

(ont plan qui leur est parallèle est normal, ^ la limilc, à la tangente iSl à la courbe donnée. Donc le plan nonnat à la courbe, en un point il, toufhe la surface polaire tout le long de la génératrice gui correspond au point M.

Le plan normal b la courbe est, d'après cela, osculateur de l'arête de rcbroussemcnl de la surface polaire, au point correspoadani: il s'cnsuil que l'angle de deux plans normaui: infiniment voisins, dans la première, est dgal à l'angle des deux plan^ osculateurs correspondants de la seconde; et, d'autre port, les tangentes k celle-ci étant normales aux plans osculnleurs de la première (1 98), l'angle de deux de ces tangentes infiniment voisines, OZ, O'Z', est égal à l'angle des plans osculateurs correspondants daosh courbe proposée.

Il suit de là l' que l'angle de contingence d'une courbe gauche, enu« point, égale Cangle de torsion de taréte de rebroussement de la surfait polaire au point correspondant; 2° que Cangle de contingence de l'aréU est égal à l'angle de torsion de la courbe proposée.

On voit aussi facilement (juc la normale principale de t'arète, au point 0, est parallèle à In normale principale de la courbe, au point M.

SOO. Si par un point donné H, et par trois autres points infiniment voisins M', M", M'" sur la courbe, on fait passer une sphère, la limite de cette spbère est appelée la sphère osculatrice de la courbe en M.

Démontrons que celte sphère limite existe, et calculons les coordonnées [jf, y', z') de son centre, ainsi que son rayon r. Concevons que les points M, M', M'', M'" répondent respectivement aux valeurs (, t-\-At, (-1-2X (-i-5A( de la variable indépendante qui détermine chaque point de la courbe donnée. L'équation de la sphère qui passe par ces quatre poîD'^ étant mise sous la forme

ii'-8'+(y->i)'+(î'-!)'->-'=o,

il faut exprimer que cette équation est satisfaite, lorsque l'on remplace successivement {Ç, ■/) , ç) par les coordonnées (x, y, z) du point M; puis par celles du point M', x-^Ax, g+Ay, z-t-Az, etc.; ar", t/', /, r resta ni invariables. Les quatre équations ainsi obtenues, et qui déicrmineraieni ^'î J/'i '^f *", peuvent s'écrire S=0, S-(-AS=rt, Sh-2AS+A*S=0, S-i-5AS-*-3A»S+A»S=0-

et se réduisent aux suivantes :