S==0, AS = 0, A«S = 0, A'S

Divisant respectivement les trois dernières par At, Af*, At', et faisant tendre At vers zéro, on voit que les coordonnées (x', t/', jk') du centre de la sphère limite, et son rayon r, satisferont aux équations

S==0, dS = 0, d*S = 0, d«S = 0;

les différentielles étant prises par rapport à f, en traitant x', j/', j?/, r comme constants. D'après cela, le centre et le rayon de la sphère osculatricé sont déterminés par les équations suivantes :

^ ^ ^ (a/— x)d^x -f- {y'-'y)d*y -^- («'— «) d^z — ds^ = 0,

(a/ — x) d^x -+- (y'— i/) rf'y -♦- {z' — z) dH — Zdsd^s = 0.

Les trois dernières de ces équations se confondent avec les équations (5), donc le centre de la sphère osculatrice au point M est sur la droite polaire correspondante y et au point oie cette droite touche l'arête de rebroussement de la surface polaire.

Le cercle passant par trois points infiniment voisins M, M', M'', a pour limite le cercle osculateur (194) : ce dernier est donc sur la sphère osculatrice, et comme il est aussi dans le plan osculateur^ il coïncide avec l'intersection de la sphère et du plan. Mais, le centre de la sphère étant au point 0, et OZ étant perpendiculaire au plan osculateur, Z est le centre du cercle, intersection de la sphère et du plan, et MZ son rayon. Le cercle osculateur coïncide donc avec le cercle de courbure^ comme on l'avait déjà fait voir (194).

Ml. Pour calculer le rayon r de la sphère osculatrice, on observe que ce rayon est l'hypothénuse MO d'un triangle rectangle^ dont les côtés sont Je rayon de courbure MZ := R, et la distance OZ = tt du centre de la sphère osculatrice au plan osculateur. Or, on a évidemment

x' — Xi = ttX, y' — j/i = wY, z! — Zi==:tiZ,

en choisissant pour la direction (X, Y, Z) de la droite polaire, celle qui va du centre de courbure Z vers le point de contact 0, Ces équations

donnent

dx' — dxi = udX •¥- Xrftt,

dj/' — dyt = udY -+• Yrfti,

dz! — dzi = tidZ -H Zdu.

Multiplions respectivement par A, /x, v ces équations, en observant que Ton a, ZO étant perpendiculaire à MZ,

iX -♦- fjiY -♦- vZ = 0,

Xdx' -♦- jxdy' -♦- vdis' = ; nous aurons

— (Idxi ■+■ iidyi -¥■ vrfjji) = u (IdX -*- (xrfY -^ vdZ), ou

en remplaçant dX^ ciY, dZ par leurs valeurs (196). D*autre part, différentiant les valeurs de Xi, yi, Zi, on trouve

dxi=dx-\-'kdïi-^^d\ rfyi=dy-*-fxdR+Rrfjx, dZft=cIz+v(ni+R(fo,

d'où, à cause des relations évidentes

'kdx -H /xrfy -4- vrfz :^ , ArfX -♦- (xdjx -♦- vdv = ,

on tire

'kdxi -♦- fxdyi -H vrfzi = dR.

On aura donc

.,. ds ^ dR

dR = — M -— » ou II = — T -r-

T ds

pour Fexpression de la distance OZ du centre de la sphère osculatrice au centre de courbure.

D'après cela, le rayon de la sphère osculatrice sera donné par l'équation

30%. Le lieu des droites polaires est, comme on l'a vu, une surface développable ; il ne peut en être de même de la surface réglée, qui est le lieu des normales principales à une eourbe à double courbure. En effet, si ces normales MZ, M'Z',... étaient tangentes à une même courbe, le plan osculateur de cette courbe au point où elle touche la génératrice MZ coïnciderait avec le plan tangent à la surface développable le long de cette génératrice, c'est-à-dire avec le plan osculateur TMZ de la courbe donnée. La courbe donnée, et celle à laquelle les normales principales sont sup-

posées tangentes, aurntcnt donc les mêmes plnns osculnteurs, et par suite (188) les mêmes tangentes, en leurs points correspondants; ce qui est évidemment impossible.

Il n'y a d'exception que lorsque la courbe donnée est plane; le plan osculateur en chaque point se confond alors avec le plan de la courbe, et la tangente n'est plus déterminée par la limite de l'intersection de deux plans oscu la leurs consécutifs.

SOS. Les courbes gauches admettent aussi des développées, jouissant de propriétés analogues à celles des développées des courbes planes. Nous appellerons développée d'une courbe gauche, une courbe telle que ses tangentes vont rencontrer la courbe donnée, et lui sont respectivement normales au point de rencontre.

D'après cela, soient toujours (i, »/, z) les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe donnée; {l, n, ç) celles du point correspondant N de la développée; a l'arc de cette courbe, compte dans le sens HN; p la dislance MN. Les conditions du problème seront exprimées par les équations

{ ^ € — X (in r\ — y d^ % — z

(6J < (iof p da p du p '

( (Ê-x)dx + (i]-i/)rfy + (;-z)dz = 0.

Mais, si nous différentions l'équation

en tenant compte de la seconde des relations précédentes, il viendra

{l — x)dl-*- [ri — y)d-n -\- {i — z)dii = f,dp,

ou, en remplaçant dÇ, d», d; par leurs valeurs tirées des équations (fi),

*1(J - x)' + (,- j,)' * (s -,)•] = pip.

Cette relation revient évidemment i

da^dp,

et l'on conclut de là, comme nous l'avons fait pour les développées planes

(154), que la longueur d'un arc quelconque de la développée est égale à la différence des longueurs des normales, tangentes à ses extrémités. Si donc un fil flexible est appliqué sur la développée, et s'en détache tangentiellement pour se terminer à un point de la courbe donnée, lorsque Ton développera ce fil en le tenant toujours tendu, son extrémité libre décrira la courbe. L'équation

($ — x)dx -^ {ri — t/) dy -h (? — z)dz =

étant différentiée, donne

{l — x)d*x -+- (y) — y) d^y -i- (Ç — z) d^z — cf«« = 0,

car la somme de termes

d^dx -f- dindy ■+■ dçrfz

est évidemment nulle, les tangentes MT, MN à la courbe et à sa développée se coupant à angle droit. Mais les deux équations qui précèdent sont celles de la droite polaire correspondante au point M, si Ton y regarde ^, y], ç comme des coordonnées courantes; donc le point où, la normaleM à la courbe touche la développée de celle-^ est situé sur la droitC'^polaire correspondante au point M, et, par suite, toutes les développées d'une courbe donnée sont des lignes tracées sur la surface polaire de cette courbe.

Observons encore que le plan osculateur en N de la développée, n'est autre que le plan tangent à la surface développable formée par les noi maies MN, M'N',..., suivant la génératrice MN. Cette surface s'appuyant sue la courbe donnée, le plan tangent contient la tangente MT; le plan osca lateur cherché est donc NMT. Il suit de là que le plan osculateur en u point de la développée, coupe à angle droit le plan tangent à la surfac polaire au même point; la normale principale de la développée est don parallèle à la tangente MT de la courbe proposée.

!I04. Toute développée de la courbe MM'M"... jouit encore d'une pr(> — priété remarquable, qui achève de manifester la réalité de ces courbe^ en permettant de les construire. Désignons par l'angle NMZ comprît entre la normale principale MZ et la tangente à la développée; cetangl^ étant le complément de celui que fait MN avec la droite polaire, on ^ évidemment

(^ — a:) X -♦- (yi — y) Y -+- (ç — z) Z = p sin 9.

Différentiant, observant que Xdx -¥- Ydy -i- Zdz=0, on a

il — a:) dX H- (ri — y) rfY -♦- (ç — z)rfZ ^ Xdl -*- Ydn h- Zd;

= p cos 6dâ -¥• sin Qdp.

(Il Mais les cosinus directeurs de la tangente à la développée étant ~

-7-9 -r ' et d(T étant égal à do. il vient

d<r d<r or

Xdl -4- Ydri -h Zd^ = sin 0dp,

et l'équation précédente se réduit à

(? — a?) dX -»- (yi — t/) (Tif -f- (ç — «) c/Z = p cos 0rfO, ou, en substituant à c/X, (fï, dZ leurs valeurs (196) et observant que

-^ i H ^ a H V = cos 0,

h celle-ci

d'où enfin

p cos 6 Tp- = p cos 6rf0 ;

Ainsi, l'angle que fait la tangente à la développée avec la normale principale à la courbe varie, lorsqu'on pasise d'un point au point infiniment voisin, dune quantité égale à l'angle de torsion de la courbe.

Or, si Ton mène par le centre d'une sphère de rayon égal à l'unité des parallèles aux droites polaires successives de la courbe donnée, on tracera sur la sphère une courbe, dont l'arc infiniment petit dr mesurera l'angle de deux droites polaires consécutives, et sera égal, par conséquent, à l'angle de torsion de la courbe donnée. On aura donc

dr = J = d0, T '

d'où, C désignant une constante arbitraire,

Il suffira donc, après avoir donné à G une valeur déterminée, de mener dans chacun des plans normaux snccessifs de la courbe une normale faisant, avec la normale principale correspondante, un angle déterminé par l'égalité précédente : le lieu des points de contact de ces normales avec la surface polaire sera une développée. Et comme la constante C peut recevoir une infinité de valeurs différentes, toute courbe gauche admet une infinité de développées, jouissant des propriétés que nous avons exposées.

305. l»» portion NZ de la droite polaire, comprise entre la développée

et la normale principale, est égale à R tg G ; on a donc

5— Xi = RXtg9, >] — y, = RYtg9, ç — Zi = RZtg9,

d^oii Ton déduit, pour les coordonnées ($, yj, ç) d'un point de la développée, les expressions

Ç = X -♦- R [1 -♦- X tg (r -♦- C)],

yi=y-*-R[fx-t.Ytg(T^C)],

ç = ;^^-R[v-»-Ztg(r-♦- C)].

Si l'on a exprimé, en fonction de la variable indépendante f, toutes les quantités qui entrent dans les seconds membres de ces équations, ^9 y}y K seront connus en fonction de f, et ces équations seront celles d'une développée quelconque. Mais la recherche des développées se fait plus directement en partant des équations

dj ^ dri ^ d?

é — .x~yj — y~ç — «'

d^dx •+• dfidy -^ d^dz = 0,

où X, c/x,... seront remplacés parleurs valeurs en fonction de t^ dU Cette recherche exige l'emploi du calcul intégral.

306. Lorsque l'on développe sur un plan la surface polaire, les développées tracées sur cette surface se transforment en lignes droites. Pour s'en assurer, il suffît de concevoir que le développement de la surface polaire se fasse comme il suit : un plan, parfaitement flexible et inextensible, est supposé enroulé sur la surface polaire, dont il se détache suivant une génératrice OZ, pour se confondre avec le plan OZM tangent à la surface suivant OZ. Concevons ensuite que Ton détache successivement ce plan flexible de la surface polaire, en le tenant exactement tendu, en sorte que sa portion plane coïncide successivement avec les divers plans normaux de la courbe donnée. Si l'on considère ce que devient dans ce développement la ligne continue, formée de la normale MN et de l'arc NN'N"... d'une développée, il est clair qu'elle joue le même râle qu'un fil flexible qui serait appliqué sur la développée, et que l'on développerait en le tenant constamment tendu : il resterait tangent à la développée, et sa portion rectiligne croîtrait successivement de quantités égales aux arcs rectifiés de la développée. Donc, d'après la propriété caractéristique des développées, l'extrémité M de cette ligne décrirait la courbe proposée MM'M"... Donc, lorsque la surface polaire est développée sur un plan^ les développées se réduisent

à des lignes droites qui toutes vont passer par un même points le point sur lequel vient se rabattre toute la courbe donnée. De plus, comme le développement n'altère pas les longueurs des lignes tracées sur la surface, les développées sont les lignes les plus courtes que l'on puisse tracer sur la surface polaire ^ entre deux quelconques de leurs points, puisque cette propriété appartient aux droites dans lesquelles elles se transforment par le développement.

307. Dans une courbe plane, le plan osculateur en un point quelconque coïncide avec le plan de la courbe ; la surface polaire est une surface cylindrique, dont la génératrice est normale au plan de la courbe; sa trace sur ce plan coïncide avec le lieu des centres de courbure. L'angle de torsion étant nul, cI9 = 0, et l'angle 6 que fait la tangente à une développée donnée avec le plan de la courbe, est constant. Les développées coupent donc les génératrices du cylindre sous un angle constant, et sont des hélices. Parmi ces développées, une seule est plane, et correspond au cas où 6 = : c'est le lieu des centres de courbure, ou la développée que nous avons étudiée en traitant des courbes planes.

Dans une courbe sphérique, tous les plans normaux passent par le centre de la sphère : la surfaee polaire est un cane dont ce centre est le sommet.

Exercices.

t. Hélice {ch, XX, ex. 1). — Les équations de la droite polaire au point (x, y,z) sont

Çy — ifjflB -♦- m (ç — «) SES , Cas -t- ifjy -+- m* = 0.

L*équation de la surfece polaire s*obtient en substituant d*abord kx eiy leurs valeurs en fonction de z, dans ces deux équations, portant les derniers teimes dans les seconds membres, élevant au carré et ajoutant; ce qui donne

On tire de là 2r, que Ton substitue dans la seconde équation de la droite polaire, et Ton a

^ ^.^r g±:t/(^-i-i?')tg«T.~o«cot«T l ^ rcosg±:V/($^-4->i«)tg«T-~o«c^T n ^^^^,^

I acotr 1 I acotr J

Le centre de la sphère osculalrice satisfait aux deux équations de la droite polaire, et

à celle-ci :

Çy — *2aj = 0,

d^où Ton tire ç=i^; par suite, ce point coïncide avec le centre de courbure. L^arète de rebronssement de la surface polaire se confond donc avec le lieu des centres de courbure : la surface polaire est une héliçoïdc dé?eloppable, lieu des tangentes à rhclice qui est le lieu de ces centres de courbure (cb. XXII, ex. 1).

Les cquutions d*uiic dc?cIoppéc de Thélice sont, Tare « de i*hélice étant pris poar variable indépendante,

acosTl f'\ f' ' \. f a« + C \1

= 7-T— cos T sin I - sin T 1 — cos ( - sm t I tg ( -: | ,

sin»T L \<» / \a y ^sinrcosTyl

acosTf f' ' \ ' f' ' \, f aB-\-C W

yj = r-r— «OS T.COS ( - Sin r I -4- Sin I - Sin t I Ig | -; 1 1,

Ç = « cos T : tg I -: j-

sin T y^sin t cos t/

9. Sur un rayon d'une sphère comme diamètre, on décrit un cercle, que Ton prend pour base d'un cylindre droit. Trouver la courbe d'intersection du cylindre et de la sphère, et lui appliquer les formules générales.

R. Le rayon de la sphère étant pris pour unité, et son centre pour origine, Taxe des z parallèle à la génératrice du cylindre, Taxe des x passant par le centre de sa base, soit ea l'angle que fait le plan YZ avec le plan passant par l'aie des z et un point de la courbe. Les équations de la courbe sont

X = sin' 6); y = sin u cos «, z = cos u.

Tangente et plan normal :

-7-77-= — ?r- = — r-^ ; I sin 2û> -♦- >7 cos 26) = ç sin w. sin ZM cos z&) — sin <a

Différentielle de l'arc :

<f< = d&> V^l -h sin'ct). Plan osculatcur :

I cos w (1 -H 2 sin* ûj) — %\ sin' w -h 2ç — cos w (2 -♦- sin* w) = 0.

Rayons de courbure et de torsion :

„ (l-+-sin*w)* 5-*-3sin*w R = - - — I T== — -T—,

1/5 -H 3 sin* w ^s'»"

Equations de la droite polaire :

% sin 26) + v7 cos 2w :=s ç sin &>, \ cos 2u — >7 sin 2u = - ç cos &>.

Equation de la surface polaire :

^(^4-vî*) — Ç»— 3Ç5>2 3 = 0.

3. Trouver, pour une courbe quelconque, l'angle s de deux normales principales infiniment voisines, leur plus courte distance vj, Tinclinaison r de cette plus courte distance sur la tangente, l'élément às^ de l'arc de la courbe, lieu des centres de courbure, et l'angle ^ sous lequel cette courbe coupe la droite polaire.

R. Par le point donné M, on mène la tangente, la normale principale et la normale au plan osculateur; puis des parallèles aux droites correspondantes pour un point infiniment voisin M^ On projette celles-ci sur le plan normal, puis sur le plan osculateur en H,

et Ton trouve, en ayant égard aux théorèmes du no 36,

T Td8 n R«T

tgT=:-» Tn =

En projetant Parc ds^ sur la normale principale et sur la droite polaire, on obtient

rd8 R

R, T, r, u ayant la même signification que dans ce qui précède.

4. Une courbe dont le rayon de courbure R est constant, et le lieu de ses centres de courbure, ont même normale principale en chaque point : chacune d*ellcs est la ligne des centres de courbure et Parcte de rebrousscment de la surface polaire, par rapport à Tautre; leurs rayons de courbure sont égaux, et le produit de leurs rayons de torsion est constant, égal au carré du rayon de courbure commun.