SURFACES ENVELOPPES
30S. La théorie des surfaces enveloppes est analogue à celle des courbes enveloppes (ch. XIX). Une équation
a étant un paramètre arbitraire, représente une infinité de surfaces. Deux surfaces, correspondant à deux valeurs a, a -♦- A du paramètre, se coupent suivant une courbe, qui a pour limite une courbe déterminée, lorsque h tend vers zéro. Le lieu de ces courbes limites est l'enveloppe des surfaces comprises dans l'équation F=0.
On prouverait, comme au n® 168, que l'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant le paramètre a entre les équations
dP
pourvu que la fonction F ne soit pas à détermination multiple.
L'enveloppe touche chacune des enveloppées tout le long de la courbe d'intersection limite; on le démontre comme au n" 170, Soit a =9(0:, y, z) la valeur de a tirée de la seconde équation ; l'enveloppe a pour équation
F (^5 y. «> 9) = û, et Ton a, en différentiant totalement,
rfF , dF . rfF , (/F dx dy ^ dz d(p
Mais -T- est nul identiquement, et Ton a, pour dëterminer dz, la a(p
même équation que si Ton avait diffërentié l'équation d'une enveloppée,
sauf que a est remplacé par 9. Et comme, en chaque point de la courbe
commune à Tenvcloppée et à l'enveloppe, 7= a, le dz a la même valeur
pour les deux surfaces en chaque point de cette courbe. Il en résulte que
les dérivées partielles p ci q de z sont les mêmes de part et d'autre, et que
les plans tangents coïncident.
309. Quand l'équation (i) est celle d'un plan mobile, l'enveloppe est le lieu d'une droite; c'est une surface réglée, et déplus, développable, puisque d'après le théorème ci-dessus, le plan mobile touche la surface enveloppe tout le long d'une génératrice de celle-ci. Réciproquement, toute développable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile, savoir, le plan osculateur de l'arête de rebrousscment de la surface. En effet, deux plans osculateurs infiniment voisins se coupent, à la limite, suivant la tangente à l'arête, c'est-à-dire suivant la génératrice de la développable.
La surface polaire d'une courbe gauche, d'après sa définition (198), est l'enveloppe des plans normaux à cette courbe. La règle ci-dessus, appliquée à l'équation du plan normal, conduit immédiatement aux équations de la droite polaire et de la surface polaire, et de plus, le théorème général du numéro précédent nous ramène à la propriété du plan normal, d'être tangent à la surface polaire (199).
310. Si l'équation de la surface enveloppée renfermait deux paramètres a et (3 liés entr'eux par une équation, en sorte que l'on eût
(2) F (or, y, z, a, (3) = 0, 9 (^, P) = 0,
on suivrait la même marche qu'au n*» 171, La limite de l'intersection de deux surfaces infiniment voisines serait déterminée par les équations (2) et par celles-ci
dF dFdJ^ rfç ^^A
da "^ rfp da~ ' da "^ d3 da~ '
et l'élimination de a, (3, d^idx entre ces quatre équations donnerait réquation de l'enveloppe. On opérerait de même si l'on avait trois paramètres liés entr'eux par deux équations, etc.
ail . Il existe un autre genre de surfaces enveloppes. Reprenons l'équa-
tion d*une surface variable
a, (3 étant des paramètres indépendants. En cherchant la limite de Fiiitcrsection de cette surface par une surface infiniment voisine, on trouverait encore que cette courbe satisfait à l'équation
dcL d^ da
et comme d^ida est indéterminé, cette courbe dépendrait de la relation arbitraire que Ton établirait entre les paramètres ce et|3. Mais il y a un ou plusieurs points de la surface F=0 qui sont communs à toutes ces courbes; ce sont ceux dont les coordonnées annullent les dérivées partielles de F par rapport à a et à (3 : le lieu de ces points est dit la surface enveloppe des surfaces comprises dans l'équation F(x, y, «, a, [3)==0. L'équation de cette surface enveloppe résulte de l'élimination de a, j3, entre les équations
Chacune des enveloppées, correspondante à des valeurs déterminées de de a, (3, est touchée par la surface enveloppe, au point d'intersection limite défini par les équations précédentes. La démonstration de cette propriété, analogue à celle que nous avons donnée plus haut, n'offre aucune difiîculté.
Exercices.
M . Enveloppe d*un plan qui coupe les axes rectangulaires OX, OY, OZ, aux distances
respectives 1 » » o, 6, c étant donnés.
a-^a 6-t-a c-ha
R. L^équation de Tenveloppe est
(as -H y -♦- 2)* 4- ^ {ax + 6y -4- cz) =: 0.
9. Enveloppe des sphères, ayant leurs centres sur une ellipse, et passant par le centre de Tellipse.
R. Les équations de Tellipse étant
celle de Tenvcloppe sera
(a^ -t- yt ^ ^1)8 __ ^ (a«jc« ^ i»yi) — 0.
S. On coupe un ellipsoïde par un plan : trouver Tenveloppe des plans tangents à Pellipsoïde aux différents points de la section.
R. Les équations de Tellipsoïde et du plan sécint étant
ar 6* c*
celle de Pcnvcloppe sera
(o«/« -^ 6«m* -^ c»n« - p«) T- ^ |jH- 1 1 j — (te -^ my + »u — p)«=0.
C'est un cône qui a son sommet au point dont les coordonnées sont
4. Enveloppe du plan qui détache d*un trièdre tri-rectangle un tétraèdre à volame
constant A*.
R. La surface, rapportée aux arêtes du trièdre, a pour équation
xyz = 27A;».
ft. Enveloppe de la surface
les paramètres (a, ^, y) satisfaisant à Péquation
R. L^équation de la surface enveloppe est
ttip fnp mp
•. Trouver Penveloppc du plan passant par les projections d*un point quelconque de Pellipsoïde sur ses trois axes. — Cas particulier du problème 5.
H. Trouver Pcnvcloppe du plan
Ix H- my H- n;? =: V, les paramètres /, m, n, V vérifiant les équations
où a, 6, c sont donnés.
R. Posant r* = œ* -♦- y» -h z», on trouve
