CONTACTS DES COURBES GAUCHES, DES SURFACES

^1^, Contact des courbes gauches. — Deux courbes (A) et (B) ayant un point commun M, si l'on mène à une distance infiniment petite du point M un plan qui coupe ces courbes respectivement en M' et jut', et si la distance M'/i' est de Tordre w-t-1 par rapport à Parc MM', on dit que les deux courbes ont, au point M, un contact de Tordre n. Cette définition sera d'ailleurs indépendante de la direction du plan sécant, s'il n'est point parallèle à la tangente

en M à Tune des courbes (A) ou (B), comme on le prouverait en décrivant du centre M une sphère de rayon MM' et raisonnant comme au n** 163.

Supposons que ce plan soit parallèle au plan des xy; l'arc MM' étant de même ordre que Paccroissemcnt de z lorsque l'on passe du point M au point M', et la distance M'/x' étant, en général, de même ordre que ses projections sur les plans XZ, YZ, on conclut immédiatement de ce qui précède que, si les courbes (A) et (B) ont en M un contact de l'ordre n, leurs projections sur les plans XZ et YZ auront un contact du même ordre; et, par conséquent, les dérivées

dx d^x rf"x dy d^y d**y

dz dz* dz*"^ dz dz^ di^

auront respectivement mêmes valeurs dans les deux courbes, au point considéré.

Si les équations de la courbe (B) renfer-ncnt un certain nombre de paramètres arbitraires, on pourra déterminer tes paramètres par la conditien que les courbes (A) et (B) aient un contact dt l'ordre le plus élevé possible : on aura la courbe osculatrice de l'espèce (É).

Exercices. Chercher la droite osculatrice et le cercle oscuî^eteur en un point d'une courbe donnée (Â). On trouvera, respectivement, la tangente ei le cercle de courbure, comme il était facile de le prévoir.

913. Une courbe (A) et une surface (S), qui ont un point commun M, ont en ce point vn contact de l'ordre n, lorsque, prenant sur la courbe un arc infiniment petit du premier ordre MM', et abaissant du point M' une normale M'M" terminée à la surface, on trouve cette distance M'M" infiniment petite de l'ordre n-+- i. On conclut facilement de là que la différence des ordonnées de la courbe et de la surface, qui répondent à un même accroissement infiniment petit Ar de la variable indépendante à partir du point M, sera aussi de l'ordre n -♦- i par rapport à Ai, pourvu que la direction de ces ordonnées ne soit parallèle, ni h la tangente à (A), ni au plan tangent à (S), au point M. On développera par la formule de Taylor la différence des ordonnées de la courbe et de la surface, suivant les puissances de Ai, et l'on obtiendra les conditions analytiques du contact de l'ordre n. Ces conditions pourront servir à déterminer les paramètres arbitraires de l'équation d'une surface (S), de telle manière que cette surface ait avec une courbe donnée, en un point donné, un contact d'ordre aussi élevé que possible.

Par exemple, l'équation du plan renfermant trois paramètres, on pourra

lui imposer un contact du second ordre avec une courbe (A) : on trouvera le plan osculatcur.

LVquation de la sphère renfermant quatre paramètres, une sphère pourra avoir avec une courbe (A) un contact du troisième ordre : on retrouve ainsi la sphère oseulatrice.

914. Contact de deux surfaces. — Deux surfaces, (S) et (2), qui ont un point commun M, ont en ce point un contact de Tordre ;?, lorsqu'à une distance infiniment petite du premier ordre du point M sur la surface (S), la distance WM'' des deux surfaces, mesurée normalement h Tune d'enlr'clles, est un infiniment petit de Tordre n-^i. Si Taxe desz n'est pas parallèle au plan tangent à Tune des deux surfaces en M, la différence des ordonnées dos surfaces (S) et (1) parallèles à cet axe, dans le voisinage du point M, sera aussi de Tordre n+1 par rapport aux accroissements infiniment petits A et & de X et de t/, considérés comme étant du premier ordre.

D'après cela, si Ton développe par la série de Taylor (H8) la différence des ordonnées des surfaces (S) et (2), suivant les puissances de h et de fc, on voit immédiatement que la condition ci-dessus revient à la suivante : il faut et il suffit que les dérivées partielles de r, jusqu'à Tordre n inclusivement,

dz dz d^z d^z d^z d^'z d*z

dx dy rfx' dxdy dy* dx" dy*

conservent les mômes valeurs, au point M, lorsque Ton passe de la surface (S) à la surface (2).

Si l'équation de la surface (2) renferme des paramètres indéterminés, et que Ton détermine ces paramètres en assujétissant la surface (2) à avoir, au point M, un contact d'ordre aussi élevé que possible avec (S), on obtiendra la surface (2) oseulatrice de (S). Ainsi, l'équation du plan renfermant trois paramètres, la condition d'un contact du premier ordre avec la surface (S) suffit pour les déterminer. On trouve ainsi le plan tangent à la surface (S).

L'équation d'une surface du second ordre contient neuf paramètres : on peut donc lui donner un contact du second ordre, et il restera trois arbitraires dont on pourra disposer pour satisfaire à d'autres conditions (0.

(i) Nous ne faisons qu'indiquer ces théories des divers ordres de contact des lignes ou des surfaces. On les trouvera développées dans les Applications du calcul infinitésimal à la géométrie de Caucut, 21""« et 22n»« leçons.