NOTIONS FONDAMENTALES
915. Le calcul intégral est Finverse du calcul différentiel : il a pour objet de remonter, des relations données entre les variables et leurs différentielles, aux relations qui ont lieu entre les variables seulement.
Le cas le plus simple de ce problème, celui qui nous occupera d'abord, est celui où Ton se propose de trouver une fonction d'une seule variable, connaissant sa dérivée par rapport à cette variable en fonction explicite de celle-ci. Mais ce problème présente une liaison intime avec le problème des limites de sommes dont nous avons parlé au commencement du cours (35), et que nous avons énoncé ainsi : Trouver la limite vers laquelle converge la somme des valeurs successives d'une fonction, multipliées respectivement par les accroissements infiniment petits correspondants de
la variable dont elle dépend, celle-ci étant supposée passer d'une valeur donnée à une autre valeur donnée par un nombre indéfiniment croissant de valeurs intermédiaires.
Pour établir cette relation, appelons f(x) la fonction, et admettons qu'elle soit continue par rapport h x depuis x=Xo jusqu'à a;=X, XoCt X étant deux valeurs déterminées de x. Concevons que la variable passe de la valeur Xo à la valeur X par une suite d'accroissements de même signe
Xi Xo, Xj — Xi,,.,., X Xn l,
désignés en général par Ax, et soit 2f(x) Ax la somme des valeurs de la fonction multipliées respectivement par ces accroissements, en sorte que l'on ait
2 f (x) Ax = (Xi — Xo) f (Xo) -t- (Xa — Xi) f (X|) H h (X — X„i) f (x«-i).
Lorsque tous les accroissements Ax tendent vers zéro , n devenant infini, la somme 2f(x)Axtend vers une limite finie et déterminée. En effet, si l'on construit la courbe représentée en coordonnées rectangulaires par l'équation
la quantité 2f(x)Ax représentera (52) la somme des rectangles construits sur les ordonnées de cette courbe qui répondent aux abscisses Xo^ Xi,..., Xn i, et sur les portions infiniment petites correspondantes de l'axe des x; or, cette somme a pour limite, comme nous l'avons démontré, l'aire plane comprise entre la courbe, l'axe des x, et les ordonnées f(xo), f (X), aire qui est nécessairement finie et déterminée.
Nous supposons ici, implicitement, que X — Xo et f(x) soient positifs; mais il est facile de voir que, s'il en était autrement, il suflSrait de regarder comme négatives les aires correspondantes de la courbe, pour que nos conclusions subsistent entièrement.
Cette limite de 2f (x)Ax, pour des valeurs infiniment petites de Ax, a été désignée par la notation
f(x)dx.
et se nomme l'intégrale définie de î(x)dx depuis Xo jusqu'à X; Xo, X sont les limites de l'intégrale. On aura donc, par définition.
f (x) dx = Uni 1 f (x) Ax.
916. Concevons maintenant que, la limite Xo restant invariable, on fasse varier la limite X ; la valeur de l'intégrale variera avec X, et sera une fonction déterminée de cette quantité. Remplaçons X par x pour indiquer plus clairement que cette limite est variable; la fonction de x désignée par la notation
f (x) dx
sera toujours représentée géométriquement par Taire plane comprise entre la courbe t/ = f(x), Taxe des r, une ordonnée fixe f(xo), et une ordonnée variable f(x). Il suit de là, d'abord, que cette fonction est continue par rapport à x en même temps que f(x), car, si un accroissement infiniment petit de l'abscisse produit un accroissement infiniment petit de l'ordonnée delà courbe, l'accroissement correspondant de l'aire de courbe sera aussi
infiniment petit, et par suite celui de la fonction i f (x) dx.
De plus, nous avons fait voir (141) que Taire d'une courbe plane, entre une ordonnée fixe et une ordonnée variable, est une fonction de l'abscisse X de cette dernière ordonnée, qui a pour dérivée par rapport à x l'ordonnée elle-même, si les axes sont rectangulaires. Cette propriété, qui subsiste quels qiie soient les signes de x — x© et de f (x) si Ton conserve la convention ci-dessus, nous donne ce théorème général :
Théorème I. La limite de somme que nous désignons par la notation
f(x)dx,
est une fonction de la variable x, dont la dérivée par rapport à x est égale à f (x).
. On a donc
^X mX
dA f(x)rfx=f(x), d^ î{x)dx = î{x)dx.
Quand la limite supérieure de l'intégrale sera variable, la limite inférieure étant une constante xo, comme ici, nous dirons simplement que rintégrale est prise à partir de Xo, réservant le nom d'intégrale définie pour le cas où les deux limites sont des constantes données.
81T. Plusieurs conséquences importantes résultent du théorème énoncé. !•> Il est d'abord démontré que le problème de calcul intégral dont nous
voulons nous occuper admet toujours une solution, c'est-à-dire qu'il existe toujours une fonction y de x propre k satisfaire à Féquation
dy = f (x) dxy f (x) ëtant une fonction continue donnée. Car la fonction I f{x)dx, dont
nous avons dëmontrc Tcxistcnce, jouit de cette propriété comme on vient de rétablir.
â" Supposons que Ton ait trouvé, par une méthode quelconque, une fonction F(x) qui satisfasse à la question, c'est-à-dire qui ait pour dérivée la fonction proposée f(x). En lui ajoutant une constante arbitraire G, on aura une nouvelle solution, plus générale, de la question, puisque la dérivée de F(x) -♦-€ sera encore f(x). C'est même la plus générale, car on a démontré dans le calcul différentiel (51) que deux fonctions de x, dont les dérivées sont constamment égales, ne peuvent différer que par une quantité indépendante de x. Toute fonction de x ayant pour dérivée f(x) sera donc comprise dans l'expression F(x)-4-C, C étant une constante arbitraire. Donc
Théoréhe II. Lorsque l'on a trouvé une fonction F (x) cfe x dont la dérivée est égale, pour toute valeur de x comprise dans un intervalle déterminé, à une fonction donnée f (x), on aura la fonction la plus générale qui remplisse la même condition dans le même intervalle^ en ajoutant à la première F(x) une constante arbitraire.
Cette fonction la plus générale dont la dérivée est f(x), se nomme l'intégrale indéfinie de f(x)dx, et se représente par la notation
fï(x)dx.
Les signes d, f indiquent donc deux opérations inverses l'une de l'autre, et qui se détruisent :
dfî (x) dx = f (x) dx.
5° Enfin, le théorème I ramène, comme nous l'avons dit, le problème des limites de sommes à dépendre d'une question de calcul intégral. Supsons qu'il s'agisse de déterminer cette limite d'une somme d'infiniment petits que nous désignons par la notation
f(x)dx.
On cherchera d'abord une fonction F (x) dont la dérivée, pour toute
valeur de x entre Xo et X, soit égale h f (x) ; on lui ajoutera uiie constante arbitraire C, et Ton aura l'intégrale indéfinie de f(x)dx.
On sait, d'autre part, que l'intégrale prise à partir de Xo, c'est-à-dire la fonction
f(x)rfx,
Xq
a pour dérivée f(x); elle est donc comprise dans l'intégrale indéfinie, et répond h une certaine valeur Ci de la constante C. On a donc
f(x)dx = F(x)-4-Ci.
Xq
Pour déterminer Ci, on observe que l'intégrale est nulle, évidemment, pour x=Xo, et en introduisant cette hypothèse dans les deux meiiibres, on trouve
= F (xo) -^ C, C, = — F (xo),
f(x)rfx = F(x) — F(xo).
•'aJo
Enfin, il suffit de donner à la variable la valeur particulière X, dans cette égalité^ et l'on aura
f(x)rfx=F(X) — F(xo).
Jxq
Théorème III. La somme des valeurs successives d'une fonction continue f (x), multipliées respectivement par les accroissements infiniment petits correspondants de la variable, lorsque celle-ci passe d'une valeur Xo à une valeur X, a pour limite l'accroissement total que prends dex=Xo à x=X, une fonction F(x) quia pour dérivée f{x).
Ce théorème important , qui exprime la relation annoncée, se vérifie d*ailleurs en observant que l'accroissement total de F(x) est la somme de ses accroissements. infiniment petits, et que ceux-ci peuvent être (43) remplacés par les valeurs successives de la différentielle de F(j), en sorte que
F (X) — F (ro) = 2AF (x) = lim IF {x) Ax = Uni 2 f (x) Ax = l f (x) dx.
Xq
918. La recherche des limites de sommes se ramenant à celle des fonctions dont la dérivée est donnée, on conçoit sans peine Futilité du calcul intégral dans une foule de questions qui dépendent de l'évaluation
de ces limites, comme la quadrature des aires planeSy etc. 0). Pour en donner un exemple très-simple, supposons qu*il s*agisse de trouver Taire de la courbe dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires,
entre les ordonnées qui répondent k x=0, a?=1. . D*après ce qui précède, cette aire est représentée par Fintégrale définie
Or, on sait que la fonction arc tgx a pour dérivée (i H-x*)"^, et si Ton applique Téquation ci-dessus^ on aura
dx ,., , 71
r = arc tg (1) — arc tg (0) = - = 0,785598...
Ce sera donc là la valeur de Taire demandée.
Dans tout ce qui précède, nous avons admis que la fonction f(x) soit continue depuis x=Xo jusqu'à x=X, Xo et X ayant des valeurs finies. Si pourtant elle devenait discontinue sans devenir infinie, pour une ou plusieurs valeurs de x comprises entre Xo et X, on reconnait facilement que tous nos raisonnements subsisteraient. Il existerait encore une fonction continue F(x), ayant sa dérivée égale à f (x), et à laquelle les théorèmes II et III s'appliqueraient. Mais si la fonction f(x) cessait d'être finie soit aux limites, soit entre les limites, il faudrait un examen particulier.
La recherche des intégrales définies étant ramenée à celle des intégrales indéfinies, nous nous occuperons d'abord de ces dernières.
