DIVERSES MÉTHODES D'INTÉGRATION

919. La différentiation et l'intégration étant deux opérations inverses l'une de l'autre, chaque proposition concernant la première a sa réciproque

(i) C'est pour cela que Ton appelle ordinairement quadrature Topération par laquelle ou chcrelic Pintégrale indéfinie d^unc fonction donnée.

concernant la seconde. Ainsi, a désignant une constante, on a

faî[x) dx = afî[x) dx ;

car le second membre a pour différentielle, d'après une règle établie dans la première partie, a{{x)dx\ et comme il renferme implicitement une constante arbitraire, il est égal à Tintégrale indéfinie de aî{x)dx.

Ainsi, tout facteur constant peut être mis hors du signe d'intégration.

Les autres règles de différentiation donnent pareillement divers théorèmes, qui constituent autant de procédés d'intégration, et que nous allons passer en revue.

220. Intégration immédiate, — Lorsque, dans l'expression à intégrer f(jr)dx, on reconnait la différentielle d'une fonction connue F(x), il suffît d'ajouter à celle-ci une constante arbitraire pour obtenir l'intégrale indéfinie de f (x) dx. En appliquant cette remarque aux différentielles des fonctions simples, on obtient immédiatement le tableau suivant, qui répond à celui du n° 57.

\ x^dx = r H- C, \ A'dx = --- h- C,

J o-*-l J LA

fe'dx = e* H- C, l — = I. x h- C,

yeos xdx = sin X H- C, ^sin xdx = — cos x h- C.

C dx ^ ( d^

\ — -— = tff X -I- C, 1 . , = — col X -♦- C,

J cos* X J sur X

f dx . r^ Ç dx

\ , = arc sin r -♦- C, \ = arc tg x -4- C,

etc.

Ces formules constituent une sorte de dictionnaire que la mémoire doit bien posséder, parce que c'est à elles que l'on tend toujours à réduire toute intégration.

221. Intégration par substitution. — Cette méthode, basée sur la règle pour différentier une fonction de fonction, consiste en ceci : soit

M = yf(x)dr, d'où du = f{x)dx.

Si nous posons x = cp(z), z désignant une nouvelle variable, nous

aurons

dx = (p'{z) rfz, dw = f [cp(^)] 9' {z) dzy

et par conséquent ti, considéré comme fonction de z, sera donné par la formule

Or, on conçoit que la relation entre x et 2 pourra être, dans bien des cas, choisie de manière à simplifier l'expression de la différentielle de t/, et à la ramener k une forme immédiatement iotégrablc. Ayant la valeur de u en fonction de z, on tirera celle de z en fonction de x de Péquation x = (f(z)y et en la portant dans l'expression de t/, on aura l'intégrale demandée.

Par exemple, soit à chercher

on posera

a -H 6x = z , d'où bdx = dz^ et l'on aura

Ç dx \ C dz i, ^ i,, Lx/.

\ r-=T \ — = rl.5:-4-C = 7l. (a-t-6x)-hC.

J a-ï-hx j z b b

De même,

dx i ( dz 11^ i

t\— = — ; :tt 7+C = — :; -m t—. — ; +C.

(a-4-6x)** 6jz** (m — i)6z"»""* (m — i)6(a-»-6x)"»-*

L'intégrale

J sin X cos X

s'obtient en divisant par cos* x les deux termes de la fraction et posant tg X = z. On trouve

dx C dz , ^ , ^

= \— = 1.2-*-C = l.tgx + C.

sin X cos X J z

C dx i J a^ -t- 6 V ~ a6

. — . bx ^ Exercices. \ ^ . n^a = n ^'^^ *^S ^" ^ î

C dx . a; f ccda? , x--