I - = arc sin - -H C ; I = — k o* — ar-j-C
— r--=l.l.a;H-C: V -r r — = — arctg | -7- I H-C;
xlx ' J aV-+-^>e-' «^ \^ J
Jxdx 1 SD* ^ r (te 1 /tg aî\
-T tc= s~i arc tg — -i- C; \ •; r- = — arc tg I -2— J -i- C ;
0* + »* 2ft« ^a* ' jl-hcos*aj ^ \l/2/
/• ''*^' on aura
dos
etc. etc. ^'■(«'nal•;^.c . /•
"'^«(telles est / ' '^^«^'•a/e ^. / '""P''«e dans ;« •
'«« enfin
dx
Jsin«x=*fe*^cota:+c-^ „
Jdx 1 = - [x —- 1. (a -»- âc*)] 4- C ;
I dx\/ = arcsinaî - V^ i — a?" -4- C ; J*t%*xd<c = igx — «-4-C;
2I.tg.«-f-C;
sin'xcos'a? 2cos*a5 2sin'x
l cos* xdx = - I (1 -4- cos 2x) dx = - (x -4- sin x cos x) 4- C ;
f . ^ j f cos(a-f-^)x cos(a— jS)x
\ sm ax cos ^xdx = — 1 — rr; S^ S7 TT -*- ^ ;
923. Intégration par partie. — En désignant par w, v deux fonctions d'une variable x, on a trouvé pour différentier le produit uv la formule
d, uv = rdw -4- tidv , d'où
t/rfr = d.uv — vdu.
Intégrant les deux membres et appliquant la règle (222), on aura
y vdv = uv — y vdu.
Cette équation constitue la règle de l'intégration par partie. Toutes les fois que la différentielle donnée î(x)dx sera décomposable dans le produit d'une fonction u par la différentielle dv d'une autre fonction, cette règle ramènera le problème à la recherche de l'intégrale de vdu^ qui sera souvent plus facile à trouver. Soit, comme exemple, h déterminer l'intégrale
y arc tg X dx.
Faisant dans la formule générale u = arc tg ar, r = x, on a
y arctga:dx=ia:arctgx — V ^ = xarc tga: — - J.(i -4-x')-4- C.
Soit encore, m étant entier et positif,
y x*» cos xrfx =y x'"rf(sin x) = x*" sin x — m/x"*^^ sin xdx.
Une seconde intégration par partie ramènera cette intégrale à celle de jpm-îçQs xdx^ et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à ycosxc/x ou à
fsinxdx^ lesquelles, étant connues, feront connaître toutes les précédentes.
Exercices. f a?t'dx = c* (x* — 3a;* -♦- 6x — 6);
y arc sin x dx=: x arc sin x -h [/{ — £c* -♦- C ;
Jxe'dx e* Ç x arc sin xdx , y-, j
V arc smac = arc sm »H- s 1.(1 — ap*) -i-C;
224. Remarques. 1° 11 arrive souvent que Fintcgrale d'une même expression , obtenue par divers procédés, se présente sous des formes différentes, ce qui peut tenir h ce que Ton a dégagé de la constante arbitraire une constante déterminée, pour la réunir à la fonction qui représente Fintégrale. Cest ainsi que l'intégrale
r dx
I •; i = are tff a? -4- C
peut se présenter sous la forme
dx X — i ^ r = arc tg j -^ Cl,
si Ton pose C = Ci — -5 et si Ton observe que Ton a
TT X — i - = arc tff i , arc tg x — arc ts; 1 :=: arc Ig •
2° On a démontré que, F(x) désignant une fonction qui a pour différentielle f{x)dx pour toute valeur de x comprise dans un intervalle déterminé, toute fonction qui jouit de la même propriété dans le même intervalle ne diffère de F(x) que par une constante. Il faut bien se garder de conclure de là que l'intégrale de f[x)dx soit nécessairement représentée par une même expression analytique, dans toute l'étendue des valeurs de la variable. Il peut se faire que l'intégrale, Représentée entre certaines limites de la variable par une expression, soit représentée entre d'autres limites par une autre expression; et la première pourrait devenir imagi-
ginaire dans ce second intervalle, sans que Fou fût en droit d*en conclure que la différentielle proposée n'admet plus d'intégrale réelle. Par exemple, si Ton suppose x <[ a, on a
Lorsque x devient ^a^ a — x est négatif et son logarithme imaginaire; mais, comme la fonction à intégrer reste réelle, il est évident qu'elle admet encore une intégrale réelle. Or, on a
et sous cette forme, l'intégrale est réelle pour x > a. Ainsi, l'intégrale de la différentielle proposée a pour expression analytique — 1. (a — x) ou — 1. (x — a), selon que xcst < ou > a.
On ne doit pas perdre de vue cette remarque toutes les fois que l'on intègre par logarithmes.
Exercices (combinaison des diverses méthodes).
dajl/o*-— œ* = -I/o* — »"-»- ~ arcsin - -h C:
x^ Il
I , arc tg xdx = a? arc tg a; — - (arc tg a?)* — - l. (1 -*- x*) -h C.
dx arc sin \ / = i das arc tg \ / î = (a -*- a;) arc tg \ / {/âx-^C.
gWarctiox
da?= i- f i-*-C.
