INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

§ 1. DÉCOMPOSITION d'uNE FRACTION RATIONNELLE EN FRACTIONS SIMPLES.

5t25. L'intégration des différentielles rationnelles reposant, en grande partie, sur la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions plus simples, nous traiterons d*abord cette dernière question.

Soient f(x), F(x) deux fonctions rationnelles entières de la variable x; a une racine réelle de l'équation F{x) = 0, et m son degré de multiplicité, en sorte que

(i) F(x) = (x-a)-Fi(x),

Fi (x) étant une nouvelle fonction rationnelle entière de x,qui ne s'annulle plus pour X = a. On posera, A étant une constante finie,

A=i^, d'où f{a) — AFi(a) = 0.

La fonction f(x) — AFi (x) s'annulle donc pour x = a, et est divisible par X — a ; en d'autres termes,

f (x) — AF, (x) = (x — a) fi (x),

f 1 (x) désignant une fonction entière de x. Divisant les deux membres de cette équation par F(x), en ayant égard à l'équation (i), on trouvera

^^ F(x) (x — o)- (x— o)^»Fi(x)

La fraction rationnelle f (x) : F(x) est donc toujours décomposable en deux autres^ Vune qui a pour numérateur une constante^ et pour dénomifiateur le facteur (x — a) élevé à la plus haute puissance à laquelle il entre dans le dénominateur F(x); l'autre^ qui a pour numérateur une fonction entière fi(x), et pour dénominateur la fonction F (x) dans laquelle P exposant de (x — a) est abaissé d'une unité.

Ce théorème, appliqué à la dernière fraction, permettra de la décomposer à son tour en deux autres; et ainsi de suite, jusqu'à ce que, l'exposant de (x — a) s'abaissant chaque fois d'une unité, on arrive à une

fraction dont le dénominateur soit complètement débarrassé de ce facteur. On aura donc

,. f(x) A Al Am-l fm(x)

^' F(x) (x— a)- (x — a)"-» x—a Fi(x)

A, Al,..., Am i étant des constantes déterminées comme on l'a vu plus

haut et qui ne sont jamais infinies; et fm{x) une fonction entière de x.

Si a était une racine simple de Téquation F(x) =s 0, m se réduirait à

l'unité, et les fractions simples correspondantes à cette racine à une seule.

226. Soit maintenant 6 une seconde racine, du degré n de multiplicité, de l'équation F(x) = 0, en sorte que

F(x) = (x — a)- (x — hy Fâ (x), Fi (x) = (x — 6)" F^ (x),

Fa désignant une fonction entière. En appliquant le théorème ci-dessus à la fraction

fm(x) fm(x)

Fi(x)"'(x — 6)»F,(x)'

on la décomposera encore en n fractions simples correspondantes à la racine 6, et une fraction dégagée de cette racine, et l'on aura

fm(x) ^ B Bi Bn^i fmM^)

Fi (x) ~ (X — ô)" **" (X— 6)"-* "*"**"*" X — 6 "*" Fi{x)'

Et l'on continuera cette série d'opérations jusqu'à ce que, ayant successivement épuisé tous les facteurs correspondants aux racines de l'équation F(x) =0, on soit ramené à une fraction dont le dénominateur ne renferme plus aucun facteur en x, c'est-à-dire à une fonction entière E(x).

22T. La décomposition de la fraction rationnelle f(x) : F(x) pourrait se faire de la même manière, si les racines a, 6,..., au lieu d'être réelles, étaient imaginaires, car nous n'avons rien dit qui ne soit applicable à ces dernières. Mais comme les coefficients A, Ai,... seraient alors imaginaires, il est préférable d'opérer la décomposition sous une autre forme, qui ne donne que des fractions réelles. On s'appuie pour cela sur un théorème tout semblable au premier.

Soit ûf -♦- (3 1/ — \ une racine imaginaire, du degré m de multiplicité, de l'équation F(x) = 0: les racines imaginaires étant conjuguées deux à deux,

comme on sait, l'équation aura aussi m racines égales à a — (3j/ i ;

F (x) sera donc divisible par

(a: a p /3T)«. (x— « + (3 /^T)- = [(x— a -(3 |/^)(x - «+ (3/^)]- , en sorte que l'on aura, quelque soit x,

El (x) étant une fonction réelle et entière de x. Posons

Fi (a -*. (3 |/^)

Le second membre de cette égalité se réduira (8, 9) à une certaine quantité imaginaire P-*-Q{/ — i qui ne sera pas infinie, puisque Fi (x) ne s'annule plus pour x =a 4- (3 (/— T, et l'équation

M(a -I- (3 /I^) + N = P + Q |/31 se décomposera en deux autres

Ma-i.N = P, M(3 = Q,

qui, évidemment, détermineront pour M, N des valeurs toujours réelles et finies.

Or, l'équation (5), mise sous la forme

f(a + P|/irT)-[M(a4.p/^^)4-NjF,(a4-P/I^)==0,

montre que l'équation

f(x) — (Mx-t-N)F,(jr) =

admet la racine imaginaire a-i-(3(/ — i ; et comme cette équation est à

coefficients réels, elle admet aussi la racine a — Pi/ — i; on a donc, pour toute valeur de x,

f (x) — (Mx + N) F, (x) = [(x - a)« + (3*] fi (x) ,

fi (x) étant une fonction réelle et entière de x.

Divisant les deux membres par F(x), et ayant égard à l'équation (4), on aura

((i\ fW ^ MxH-N fi(r)

La fraction rationnelle î{x): F(x) se décomposera donc en devx autres, l'une qui aura pour numérateur une fonction du premier degré en x, et pour dénominateur la plus haute puissance du facteur [x — a)* -4- j3* qui entre dans F (x); l'auti^e, ayant pour numérateur une fonction entière, et pour dénominateur la fonction F (x) , dans laquelle l'exposant du facteur est abaissé d'une unité.

Cette dernière fraction se décomposera, à son tour, en deux autres par le même théorème, et ainsi de suite, jusqu^à ce qu'on trouve une fraction dont le dénominateur, ne renfermant plus (x — a)* -h (3* en facteur, se réduit à Fi(x).

En combinant ce théorème avec celui que nous avons établi précédem-

f(x) ment, on voit que toute fraction rationnelle =^ sera décomposable 1° en

une somme de fractions simples à cocfTicicnts réels, ayant pour dénominateurs les facteurs réels du premier ou de second degré en x, qui répondent aux racines de Téquation F(x) = 0, élevés à des puissances égales ou inférieures à celles auxquelles ces facteurs entrent dans F(x); 2*» en une parti^nticre £(x). En sorte que, connaissant les racines de Féquation F(x)=0, on pourra immédiatement écrire la formule de décomposition de la fraction f(x): Ffx), sauf que les numérateurs A, Ai,..., Mx-4-N,..., resteront à déterminer.

La marche suivie pour la démonstration des théorèmes conduirait à la détermination de coefficients, mais il existe pour cela des procédés plus expéditifs.

22§. On peut d'abord employer la méthode des coefficients indéterminés. Après avoir cherché les racines de l'équation F(.r) = 0, et décomposé F(x) en ses facteurs réels du premier ou du second degré correspondants à ces racines, on posera la formule de décomposition de la fraction suivant la nature et le degré de multiplicité des racines, comme on l'a dit plus haut. Multipliant ensuite par F(x) les deux membres de l'équation, le premier se réduira a f(x); dans le second, tous les dénominateurs des fractions simples disparaîtront, comme étant des facteurs de la fonction F(jr), en sorte que ce second membre se réduira aussi à une fonction entière de x. On ordonnera les deux membres de l'équation suivant les puissances ascendantes de X, et, l'égalité devant avoir lieu pour toute valeur de x, il faudra que les coefficients des mêmes puissances de x soient égaux dans les deux membres. On aura ainsi une suite d'égalités, du premier degré par rapport

aux coefficients inconnus A, Ai,..., B, 61,..., M, N,..., et qui seront toujours en nombre suffisant pour les déterminer, ainsi que E (x).

De là résulte celte conséquence importante : si le degré de f{x) par rapport à x est inférieur à celui du dénominateur F (x), la partie entière E {x) s'évanouira. Car, soit 1 le degré de F(x). Le premier membre f (a*) de réquation ci-dessus est de degré inférieur à 1, par hypothèse. Dans le second membre, les termes qui proviennent de la multiplication des fractions simples par F(j:) sont aussi, évidemment, de degré inférieur à ).; tandis que, si E(x) n'était pas nul, le terme F{x) E (x) renfermerait des termes de degré égal ou supérieur à 1, qui seraient conséquemment irréductibles avec les autres termes du second membre. Les deux membres de Tidentité ne seraient donc pas de même degré par rapport à x, ce qui est absurde.

La méthode des coefficients indéterminés entraine à des calculs compliqués lorsque F(x) est de degré quelque peu élevé; la suivante est alors préférable.

929. On procède d'abord comme dans la méthode précédente. Après avoir résolu réquation F(x) = 0, et établi la formule de décomposition de la fraction rationnelle proposée, suivant la nature et le degré de multiplicité des racines de cette équation, on multiplie les deux membres de l'équation par F(x), de manière à réduire le premier membre à f(x), et le second à un polynôme rationnel et entier par rapport à x.

Soit a l'une des racines réelles, m son degré de multiplicité, Fi(x) le quotient de F(x) par (x — a)"», et proposons-nous de trouver les numérateurs A, Al,..., Am-i des fractions qui, dans la formule de décomposition, correspondent à la racine a. Ces fractions étant, comme nous l'avons établi,

A Al Am-l

et les autres fractions ne renfermant pas (x — a) en dénominateur, la multiplication par F(x) ou (x — a)*"Fi(x) introduira le facteur (x — o)*" dans tous ces autres termes, en sorte que l'on pourra écrire

t f(x) = AFi(x) + Ai(x-a)Fi(x) + A,(x — a)*Fi(x)+... ^ M -4- A«^i (x — a)—* Fi (x) + (x — a)-cp (x),

(p [x) désignant une fonction entière de x.

Cette équation ayant lieu quel que soit x, faisons x=a; tous les termes du second membre sont nuls sauf le premier, et il vient

f(a) = AF.(a),

équation qui détermine A.

Remarquons maintenant que, diaprés la loi de formation des dérivées successives d'un produit, la dérivée

renferme le facteur {x — a) aussi longtemps que k est moindre que r, et s'annulle conséquemment encore pour x = a; mais que, pour k=r ou A:>r, cette dérivée, ne renfermant plus le facteur x — a, ne s'annulera plus pour x=a.

Cela posé, prenons les dérivées des deux membres de Téquation (7), puis faisons x=a : tous les termes du second membre s'annulant, sauf les deux premiers, nous aurons

r{a) = AF', (a) + A, [D, (x - a) F, (x)]»,

et, A étant déjà connu, on tirera de là Ai.

Prenant les dérivées secondes des deux membres de l'équation (7), puis faisant x = a, ce qui annulera tous les termes du second membre à Texception des trois premiers, nous trouverons

f '' (a)= AF'i (a) -H A, [DK (x — a) Ft (x)]a 4- A. [D^ (x - a)« F, (x)],,

ce qui détermine Aa.

Continuant de cette manière, on voit clairement qu'après m — 1 dérivations, suivies chaque fois de la supposition x = a, les m coefficients A, Al,..., Am-i seront déterminés. Nous ne développons pas explicitement les résultats de ces calculs, parce qu'il est plus simple d'appliquer à chaque cas particulier la méthode indiquée, que d'user des formules générales que nous trouverions.

Il importe de remarquer que le dernier terme (x — a)*"9(x), après chacune des m — i dérivations, renferme encore le facteur (x — a) et s'évanouit pour x = a; il est donc inutile d'en tenir compte dans la détermination des coefficients A, Ai,..., et l'on peut raisonner comme si ce terme n'existait pas, ce qui abrège les opérations.

Lorsque a est une racine simple à laquelle ne répond qu'une fraction

réquàtion

f(a) = AFi(a)

suffit pour déterminer le numérateur A. Mais la théorie des équations nous apprend que, dans ce cas, la fonction Fi (x) se réduit, pour x c=3 a, à F' (a); on a conséquemment la formule très-commode

F' («) pour déterminer les numérateurs des fractions qui répondent aux racines simples.

930. Pour les numérateurs Mx-*-N, etc., des fractions réelles qui correspondent aux racines imaginaires conjuguées, on suivra exactement la

même marche. Soit «h-^j/ — 1 une racine imaginaire du degré m de multiplicité; posons

et écrivons, d'après le n° 227, les termes de la décomposition qui répondent à cette racine. En multipliant par F(x) les deux membres de Féquation ainsi formée, on aura un résultat que Ton peut écrire sous la forme

I f(x) = (Mx -»- N)F,(x) + (Mix + N,) [(x — a)« + P«]F,(x) + ...

Faisant dans cette équation x=a-4-Pj/ — 4, on obtient

f(a+Pj/— 1) = [M(a-*-(3/I^) + N]F,(aH-(3j/— 1),

équation imaginaire, qui se décompose en deux équations réelles d'où l'on lire M, N. Prenant les dérivées par rapport à x des deux membres de Féqua-

lîon (8) et faisant encore x=îa-i-|3^ — 1, les termes du second membre s'annulent tous, sauf les deux premiers, et l'on a une équation imaginaire qui détermine Mi, Ni ; et ainsi de suite. Il suffit de m — 1 dérivations pour trouver tous les coefficients, et, par conséquent, il est inutile de s'occuper du terme [(x — a)' -h (3*]"*ç(x), qui donnerait zéro après chaque diflPérentiation.

Lorsque toutes les racines de l'équation F(x)=0 sont inégales, le moyen le plus rapide d'opérer la décomposition de la fraction proposée consiste à faire usage de la formule

qui s'applique également au cas où la racine a est réelle et à celui où elle est imaginaire. Il suffira ensuite de réduire ensemble les fractions imagiginaires correspondantes à deux racines imaginaires conjuguées, pour obtenir la décomposition de la fraction sous la forme réelle, considérée ci-dessus.

931. Il résulte de ce procédé que la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples, ne peut se faire que d'une seule manière sous la forme que nous avons adoptée^ et dont la possibilité a été établie. En effet, si chacun des coefficients A, Ai,..., M, N,... admettait plusieurs valeurs, la méthode que nous venons de suivre pour déterminer ces coefficients devrait les donner toutes. Or, chaque coefficient est donné par une équation où il n'entre qu'au premier degré, et n^admet par conséquent qu'une seule valeur.

939. Exemples. — I. Gomme application de la méthode qui vient d'être exposée, décomposons la fraction

f (x) oc' H- x' -f- 2

F(x) x^ — 2x' -t- X L'équation

a pour racines x=0, x=l double, x= — 1 double. On a donc

, , x'-*-x«-i-2 A B Bi C Cl

il n'y a pas de partie entière. De là on tire

a;3 ^ ^i ^ 2 A(x — l)«(x + 1)« -4- Bx(xH- 1)* -*-Bix(x — i) (x -I- i)«

-I- Cx(x — i)« -f- Cix(x — 1)« (x -4- i).

L'hypothèse x=0 donne A=2. L'hypothèse x=l donne B==i. Dîfférentiant et faisant encore x=l, en négligeant d'ailleurs les termes où

figure (x— 1)', on trouve

5 = 8B + 4B„ Bi = — yv

Enfin, si l'on pose x=— 1 dans l'équation ci-dessus, on trouve C=s — ^;

puis,différentiant,négligeant les termes en (x -*-!)? et posant x=5 — i,ona

1=8C — 4Ci, d'où C4= — 7-

Il suffit de substituer les valeurs trouvées dans la formule (a), pour obtenir définitivement Tëquation

IL Soit encore

L*équation F(x)=0 a pour racines — 2, 1 -4-^/ — 1 double; 1 — (/ — i double. On a donc

x8 — 2x*-f-8x«— 'l2x-f-8=(xH-2)[(x— 1)*-f-ip=(x-*-2)(x« — 2x4-2)S

et Ton doit poser, la partie entière £(x) étant nulle,

x^— i ____A__ Mx-i-N Mix >^ Ni

Multipliant les deux membres par F(x), on a

X»— i=A(x«— 2x-f-2)*+(Mx-f.N)(x-^2)-^(MiX-t-Ni)(x-*-2)(x«— 2X-4-2).

Il suffit, pour trouver A, de poser x= — 2, et Ton a

— 9 = iOOA, A = — ^

On posera ensuite x=i -f- j/ — 1, ce qui donnera

(i ^ ,/irï)3 1 = (M + N + M|/^) (3 -i- j/^), ou, en développant et égalant séparément les parties réelles et les coefficients de {/ — i,

d'où

Pour déterminer Mi et Ni, on prend les dérivées des deux membres de l'identité ci-dessus, en négligeant le terme A(x*- 2x + 2)% et Ton fait x=i -^ [/ — 1, ce qui donne après réductions

6|/^=4M H-N--8M, ~ 2NiH- 1/^ (2M + 4Mi -h CNi),

d'où

4M -*- N - 8Mi — 2Ni = 0,

2M -*- 4Mi H- 6Ni = 6, et après avoir substitué à M, N leurs valeurs, an trouvera sans peine

La décomposition de la fraction proposée sera donc effectuée par la substitution des valeurs de A, M, N, Mi, Ni.