INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

;t33. Soit à intégrer la différentielle (p{x)ds^ (p[x) étant une fonction rationnelle.

Si la fonction (p{x) est entière^ elle est de la forme

cp (x) = a -I- 6a: -i- ex' -4- • • • -*- fcx*,

et les principes établis au chapitre précédent donnent

6x' ex' kx""^* ^

Si elle est fractionnaire, en effectuant la division du numérateur par le

dénominateur, on saura toujours décomposer (p{x) en deux parties, l'une

f(x) entière E(x), l'autre fractionnaire rrr-r? dans laquelle le numérateur

sera de degré moindre que le dénominateur.

La partie entière E{x)dx s'intègre sans difficulté comme ci-dessus; pour intégrer la partie fractionnaire, on décomposera la fraction f(a;):F(x), comme on l'a vu (227), en une somme de fractions simples appartenant toutes à l'un des quatre types suivants :

A A Mx-f-N MX4-N

Les méthodes connues donnent

C Adx . , , .. ^

1» \ = Al.(x — a)-f.C.

(Adx 1 A ^

3° Pour intégrer les différentielles appartenant au troisième type, on introduit au numérateur la différentielle du dénominateur, en posant

f Mj -4- N r M{x—x-*- a.) H-N M C i(x — a.)dx

) ^x — a)* + ^* ) (x-a)«-Hp« "^"2 ) (x — «)» + p»

La première de ces deux întëgrales a pour valeur l.[(x — a)* -*-(3*]; la seconde se ramène, en posant x — a=(3z, à

Bdz 1 ^ i X — a ^

^,^j-^^ = parctgz-HC = ^arctg-^ h-C,

d^où

Mr -4- N ' j M - ., . - ^- Ma -H N x — a

^** On décompose de la même manière f Mx-f-N ^ Mr 2(x — a)dy ^, f rfx

Le premier terme a pour valeur

2 ' (m — i)[(x — ay -4- P«]«-* '

et le second se ramène, comme ci-dessus, à

Ma -t- N r dz

Tout est donc réduit au calcul de la valeur de cette dernière intégrale. Pour cela, on suivra une méthode qui trouve de fréquentes applications dans le calcul intégral. Ecrivons

r dz f (1 4-z*--z^)dz r dz f z^dz

l'intégration par partie nous donne

r zHz \T ^zdz z i r dz

Substituant cette valeur dans Téquation précédente et réduisant, nous

aurons

dz z 2m — 5 r dz

Ç dz z 2m — 3 r

C'est là ce qu'on nomme une formule de réduction : elle ramène l'intégrale proposée à une autre de mcme forme, mais dans laquelle l'exposant m est diminué d'une unité. En changeant dans cette formule m en m — 1, on fera dépendre la nouvelle intégrale d'une troisième dans laquelle l'exposant m sera diminué de deux unités, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive, m étant un nombre entier, à

dz

= arc tg z -*- C.

Cette dernière étant connue, fait connaître toutes les précédentes, et l'on doit par conséquent regarder l'intégrale

dz

comme connue, quel que soit l'entier m.

Il suit de là que l'intégrale de la différentielle t-^ ^, ^,v doit aussi

être considérée comme connue.

En réunissant tout ce qui vient d'être dit, on voit que le problème proposé est complètement résolu, et que l'intégrale d^une différentielle rationnelle en X peut toujours s'exprimer par un nombre limité de termes au moyen des fonctions élémentaires de Canalyse.

934. Quoique la méthode générale soit toujours applicable, il est souvent plus simple de recourir à des artifices particuliers, que suggère l'habitude du calcul. Ainsi, pour trouver l'intégrale de l'expression

il faudrait, suivant la méthode exposée, déterminer treize coefiBcients, ce qui serait assez laborieux. Il vaut mieux introduire plusieurs fois le facteur (x* — 5 — x') en divisant par — 5 chaque fois. On a ainsi

Opérant de même sur ces deux fractions, on trouve 112 X

5* x' (x» — 5)5 5*jr (jc« — 5)* 5« (x« — 5)»

Répétant l'opération sur les deux premiers termes, on a

55 x' (x« — 5)« 55 x (x» — 5)5 55 (x« — 5)* 5« (x» — 5)5 Continuant de la même manière, on arrive enfin à

2jf X

La fonction est maintenant préparée pour l'intégration, à cause de la relation 2xrfx = d(x' — 5), et Ton trouvera

J 2dx 1 X* — 5 1 r 1 4 5

x5(x«— 5)» ~ 5» ' x« ■*" 5« [sï? "*" 5'(x« — 5) "" 2.5«(x* — 5)«

JE'xercîce*.

Trouver les valeurs des intégrales suivantes :

1 x»(aB — 1) ' 2aj* a? a?

1 «♦-f-ac* — 3aî* — a? -h 2

J (a;»-~l)d( as* — 2aî* -t- 8x» —

12aj-*-8'

„ 9 , |/aî« — 2aj + 2 7aî + 2 38 ^ , .,__

205* — ÎJac» -i- 1

dx',

^••x- */ 125 ' ^ iOOO ' ' 100(»«-*-l) 20(aj*-f-l)«

-*- — arc tg a? + C.

i — ^^lâ'- ^-;= +»''ctgs-^ ), sir = A<>0;

— 7-rj î R. On a, en intégrant par partie,

16a (o -*. 6««)« 64o« (a -*- 6aj*)» 512a» (a -♦- 6a;«)» 2048a« (a -♦- 6»*)

H55 r rfg

dx

i» cas : si 6' — iac>0, on^ose A: = 1/6* — 4oc; on a

— ï\/ m. «^^ ^6 —;=-*- 7 \/ i: — T8rctg-—:^i::-+-C.

2««cas : 6*— iac<0; on pose 6*— ^ac = — A:*, — 6-i-Ai/— l=2cpe®*'''^, et l*on a

^ .^ a;* -I- 2a?/5 « cos g -i-p ^ 2/>« ajsm^

« \ 5 ï« 1 ;; ^-cot 5 arc tg — ; r h C.

-tcp « C08 - f a;* — 2a?/> « cos - -Hp

4« f Jï il {i-^x^jx^^x-^i) i „,,t^«^i^.p